Examen de Matemáticas CCSS de Aragón 2020 (convocatoria ordinaria)

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& -2\\ -1& -1\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 1& 1& 0\\ 3& -1& 0\end{array}\right)$

a) ¿Es posible calcular $(BA{)}^2$? Si es así, calcularla; si no se puede, razonar por qué. (3 puntos)

b) Encontrar, si existe, una matriz $X$ que verifique $2X+3B=2C$. (3 puntos)

c) Calcular, si existe, la matriz inversa de $D$. (4 puntos)

Una modista está organizando su trabajo para el próximo mes. Puede hacer vestidos de fiesta y vestidos de calle. Cada vestido de fiesta necesita 3 metros de tela y lleva 6 horas de trabajo, mientras que cada vestido de calle necesita 1 metro de tela y lleva 4 horas de trabajo. La modista dispone, como máximo, de 36 metros de tela y 120 horas de trabajo, y no quiere hacer más vestidos de fiesta que de calle. Por cada vestido de fiesta, obtiene un beneficio de 100 euros, mientras que por cada vestido de calle obtiene un beneficio de 65 euros. Plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar cuántos vestidos de cada tipo tiene que hacer para maximizar su beneficio. ¿Cuál será el beneficio en ese caso? (10 puntos)

a) Calcular la derivada de $f(x)=e^{3x^2-5x}$. (3 puntos)

b) Calcular ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{3x+2}{\sqrt{16x^2+5}}}}$. (3 puntos)

c) Calcular ${\displaystyle {\int }_0^2(3x^2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4x+1}}})dx}$. (4 puntos)

El coste unitario de fabricación de un producto (en euros) depende del tamaño de la producción a través de la siguiente fórmula:

$C(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}(x^2-16x+100)$

donde $x\in [2,15]$ es el tamaño de la producción (en miles de unidades) y $C$ es el coste unitario (en euros). Calcular:

a) Si se producen 5000 unidades, ¿cuánto vale el coste unitario? (1 punto)

b) ¿Para qué valores del tamaño de la producción $x\in [2,15]$ el coste unitario es inferior a 4 euros? (4 puntos)

c) ¿Para qué tamaño de la producción $x\in [2,15]$ se alcanza el coste unitario mínimo? ¿Y el máximo? ¿Cuánto valen estos costes? (5 puntos)

En el curso de primero de Bachillerato de un centro educativo se ha hecho una encuesta sobre el destino del viaje de estudios con dos opciones: Londres y París. El curso está compuesto por tres clases: A, B y C. La clase A tiene 28 estudiantes, de los cuales 12 han votado por Londres y el resto por París; en la clase B, que tiene 25 estudiantes, 10 han votado por Londres y el resto por París; en la clase C, con 23 estudiantes, 18 han votado por Londres y el resto por París.

a) Si elegimos al azar un estudiante del curso, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado por Londres? (2 puntos)

b) Si elegimos al azar un estudiante de entre los que han votado por Londres, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la clase B? (2 puntos)

c) Si elegimos al azar (sin reemplazamiento) dos estudiantes del curso, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hayan votado por Londres? (3 puntos)

d) Si elegimos al azar (sin reemplazamiento) tres estudiantes del curso, ¿cuál es la probabilidad de que sea uno de cada clase? (3 puntos)

Se sabe que la altura de los estudiantes que se presentan a la EVAU tiene distribución normal con desviación típica igual a 10 cm. Queremos construir un intervalo de confianza para la media de la altura de los estudiantes.

a) Determinar el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza del 97 % tenga una amplitud menor o igual que 4 cm. (5 puntos)

b) Decidimos tomar una muestra de tamaño 9. Medimos a los estudiantes y tenemos los siguientes resultados en cm: 175, 187, 183, 162, 161, 164, 180, 171, 158. Calcular un intervalo de confianza al 97 % para la media de la altura de los estudiantes que se presentan a la EVAU. (4 puntos)

c) Calcular la varianza de la muestra del apartado b). (1 punto)