Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& -2\\ -1& -1\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 1& 1& 0\\ 3& -1& 0\end{array}\right)$

a) ¿Es posible calcular $(BA{)}^2$? Si es así, calcularla; si no se puede, razonar por qué. (3 puntos)

b) Encontrar, si existe, una matriz $X$ que verifique $2X+3B=2C$. (3 puntos)

c) Calcular, si existe, la matriz inversa de $D$. (4 puntos)

La matriz $B$ es de orden $3\times 2$ y la matriz $A$ es de orden $2\times 3$. El producto $BA$ está definido, porque el número de columnas de $B$ coincide con el número de filas de $A$, y da una matriz de orden $3\times 3$. Al ser cuadrada, sí se puede elevar al cuadrado.

Se calcula primero $BA$:

$BA=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& -2\\ -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$

$BA=\left(\begin{array}{ccc}2\cdot 2+0\cdot (-1)& 2\cdot 3+0\cdot 0& 2\cdot 2+0\cdot (-1)\\ (-1)\cdot 2+(-2)\cdot (-1)& (-1)\cdot 3+(-2)\cdot 0& (-1)\cdot 2+(-2)\cdot (-1)\\ (-1)\cdot 2+(-1)\cdot (-1)& (-1)\cdot 3+(-1)\cdot 0& (-1)\cdot 2+(-1)\cdot (-1)\end{array}\right)$

$BA=\left(\begin{array}{ccc}4& 6& 4\\ 0& -3& 0\\ -1& -3& -1\end{array}\right)$

Se calcula ahora su cuadrado, multiplicándola por sí misma:

$(BA{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}4& 6& 4\\ 0& -3& 0\\ -1& -3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& 6& 4\\ 0& -3& 0\\ -1& -3& -1\end{array}\right)$

$(BA{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}16+0-4& 24-18-12& 16+0-4\\ 0+0+0& 0+9+0& 0+0+0\\ -4+0+1& -6+9+3& -4+0+1\end{array}\right)$

$(BA{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}12& -6& 12\\ 0& 9& 0\\ -3& 6& -3\end{array}\right)$

Sí es posible calcular $(BA{)}^2$, porque $BA$ es una matriz cuadrada de orden 3, y su valor es $(BA{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}12& -6& 12\\ 0& 9& 0\\ -3& 6& -3\end{array}\right)$.



Las matrices $B$ y $C$ son ambas de orden $3\times 2$, así que la suma tiene sentido y $X$ será también de orden $3\times 2$. Se despeja:

$2X+3B=2C\Rightarrow 2X=2C-3B\Rightarrow X={\displaystyle \frac{1}{2}}(2C-3B)$

$2C=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 4& 2\\ 2& 6\end{array}\right),3B=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ -3& -6\\ -3& -3\end{array}\right)$

$2C-3B=\left(\begin{array}{cc}2-6& -4-0\\ 4+3& 2+6\\ 2+3& 6+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& -4\\ 7& 8\\ 5& 9\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}-4& -4\\ 7& 8\\ 5& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ {\displaystyle \frac{7}{2}}& 4\\ {\displaystyle \frac{5}{2}}& {\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}\right)$

La matriz buscada existe y es $X=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ {\displaystyle \frac{7}{2}}& 4\\ {\displaystyle \frac{5}{2}}& {\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}\right)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcular,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existe,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{D}\mathbf{\text{.}}(4\text{ puntos})$

Se calcula el determinante para comprobar que la matriz es inversible.

$\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 1& 1& 0\\ 3& -1& 0\end{array}\mid =2(0-0)-0(0-0)+(-1)(-1-3)=0-0+4=4\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $D$ tiene inversa. Se calcula por el método de los adjuntos.

1) Se calcula la matriz de los adjuntos:

$\mathrm{Adj}(D)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -4\\ 1& 3& 2\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$

2) Se calcula su traspuesta:

$(\mathrm{Adj}(D){)}^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 3& -1\\ -4& 2& 2\end{array}\right)$

3) Se aplica la fórmula:

$D^{-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 3& -1\\ -4& 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 0& {\displaystyle \frac{3}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ -1& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$D\cdot D^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 1& 1& 0\\ 3& -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 0& {\displaystyle \frac{3}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ -1& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

La matriz inversa existe y es $D^{-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 3& -1\\ -4& 2& 2\end{array}\right)$.