Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Determine el orden de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $3AX-B=C$ esté bien planteada, siendo

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}3& 6& -3\\ 3& 0& 3\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 6\\ 6& 9& -6\end{array}\right)\mathrm{.}$

Resuelva la ecuación matricial despejando previamente $X$. [5 puntos]

Para que la resta $3AX-B$ tenga sentido, el producto $3AX$ debe tener el mismo orden que $B$, que es $2\times 3$. Como $A$ es de orden $2\times 2$, en el producto $A\cdot X$ la matriz $X$ ha de tener 2 filas, y para que el resultado tenga 3 columnas, $X$ ha de tener 3 columnas.

La matriz $X$ es de orden $2\times 3$.

Se despeja $X$ aplicando las propiedades de las matrices.

$3AX-B=C\Rightarrow 3AX=C+B$

$A^{-1}\cdot 3AX=A^{-1}(C+B)\Rightarrow 3X=A^{-1}(C+B)\Rightarrow X={\displaystyle \frac{1}{3}}{A}^{-1}(C+B)$

Para calcular $X$ se necesitan previamente $C+B$ y $A^{-1}$.

$C+B=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 6\\ 6& 9& -6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}3& 6& -3\\ 3& 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 9& 3\\ 9& 9& -3\end{array}\right)$

Se calcula la matriz inversa de $A$ por el método de los adjuntos.

1) Se calcula $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =2\cdot 1-1\cdot 1=1\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos y su traspuesta:

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right),(\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$

3) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\cdot (\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}3& 9& 3\\ 9& 9& -3\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}1\cdot 3+(-1)\cdot 9& 1\cdot 9+(-1)\cdot 9& 1\cdot 3+(-1)(-3)\\ (-1)\cdot 3+2\cdot 9& (-1)\cdot 9+2\cdot 9& (-1)\cdot 3+2\cdot (-3)\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}-6& 0& 6\\ 15& 9& -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 2\\ 5& 3& -3\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$3AX=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}-6& 0& 6\\ 15& 9& -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 9& 3\\ 9& 9& -3\end{array}\right)=C+B$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 2\\ 5& 3& -3\end{array}\right)$, de orden $2\times 3$.