Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

La promotora que organiza el festival está ajustando el presupuesto (en decenas de miles de euros) para la iluminación y el sonido de los conciertos. Estos cálculos se representan mediante una ecuación matricial de la forma $AX+B=C$, siendo

$A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$

La matriz $A$ representa la planificación inicial, $B$ es la matriz de ajustes adicionales, $C$ es la matriz de presupuesto final y $X$ es la matriz de gastos desconocidos. Resuelva la ecuación despejando previamente $X$. [5 puntos]

Se despeja $X$ aplicando las propiedades de las matrices. Como el producto de matrices no es conmutativo, la inversa de $A$ se multiplica por la izquierda, que es el lado por el que $A$ acompaña a $X$.

$AX+B=C\Rightarrow AX=C-B$

$A^{-1}\cdot AX=A^{-1}(C-B)\Rightarrow I\cdot X=A^{-1}(C-B)\Rightarrow X=A^{-1}(C-B)$

Para calcular $X$ se necesitan previamente $C-B$ y $A^{-1}$.

$C-B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 3\\ 1& 3\end{array}\right)$

Se calcula la matriz inversa de $A$ por el método de los adjuntos.

1) Se calcula $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 4\end{array}\mid =4\cdot 4-3\cdot 5=16-15=1\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos y su traspuesta:

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -3& 4\end{array}\right),(\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -5& 4\end{array}\right)$

3) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\cdot (\mathrm{Adj}(A){)}^t={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -5& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -5& 4\end{array}\right)$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -5& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-3& 3\\ 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4\cdot (-3)+(-3)\cdot 1& 4\cdot 3+(-3)\cdot 3\\ (-5)(-3)+4\cdot 1& (-5)\cdot 3+4\cdot 3\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-15& 3\\ 19& -3\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$AX+B=\left(\begin{array}{cc}-3& 3\\ 1& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)=C$

La matriz de gastos desconocidos es $X=\left(\begin{array}{cc}-15& 3\\ 19& -3\end{array}\right)$, expresada en decenas de miles de euros.