Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, resuelva la ecuación matricial $AX+2A=A^2$ despejando previamente $X$. [5 puntos]

Se despeja $X$ aplicando las propiedades de las matrices. Como el producto de matrices no es conmutativo, la inversa de $A$ se multiplica siempre por la izquierda.

$AX+2A=A^2\Rightarrow AX=A^2-2A$

$A^{-1}\cdot AX=A^{-1}(A^2-2A)\Rightarrow I\cdot X=A^{-1}(A^2-2A)\Rightarrow X=A^{-1}(A^2-2A)$

Se calculan por separado $A^2$, $A^2-2A$ y $A^{-1}$.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+(-1)(-1)& 1\cdot (-1)+(-1)\cdot 2\\ (-1)\cdot 1+2\cdot (-1)& (-1)(-1)+2\cdot 2\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)$

$A^2-2A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$

Se calcula la matriz inversa de $A$ por el método de los adjuntos.

1) Se calcula $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\mid =1\cdot 2-(-1)(-1)=2-1=1\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos y su traspuesta:

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),(\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

3) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\cdot (\mathrm{Adj}(A){)}^t={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

Ya se puede calcular la matriz $X$:

$X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 0+1\cdot (-1)& 2\cdot (-1)+1\cdot 1\\ 1\cdot 0+1\cdot (-1)& 1\cdot (-1)+1\cdot 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 0\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$AX+2A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)=A^2$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 0\end{array}\right)$.

Obsérvese que, al simplificar la expresión despejada, $X=A^{-1}{A}^2-2A^{-1}A=A-2I$, que conduce al mismo resultado sin necesidad de multiplicar matrices.