Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una modista está organizando su trabajo para el próximo mes. Puede hacer vestidos de fiesta y vestidos de calle. Cada vestido de fiesta necesita 3 metros de tela y lleva 6 horas de trabajo, mientras que cada vestido de calle necesita 1 metro de tela y lleva 4 horas de trabajo. La modista dispone, como máximo, de 36 metros de tela y 120 horas de trabajo, y no quiere hacer más vestidos de fiesta que de calle. Por cada vestido de fiesta, obtiene un beneficio de 100 euros, mientras que por cada vestido de calle obtiene un beneficio de 65 euros. Plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar cuántos vestidos de cada tipo tiene que hacer para maximizar su beneficio. ¿Cuál será el beneficio en ese caso? (10 puntos)

$\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resolver}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{vestidos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso?}}(10\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de vestidos de fiesta e $y$ al número de vestidos de calle.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Metros de tela}$	$\text{Horas de trabajo}$	$\text{Beneficio (€)}$
Vestidos de fiesta (x)	3x	6x	100x
Vestidos de calle (y)	y	4y	65y
Totales	3x+y	6x+4y	100x+65y
Disponible	36	120

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio: $B(x,y)=100x+65y$.

Las restricciones del problema son:

Se dispone como máximo de 36 metros de tela $\Rightarrow$ $3x+y\le 36$.

Se dispone como máximo de 120 horas de trabajo $\Rightarrow$ $6x+4y\le 120$, que simplificando entre $2$ queda $3x+2y\le 60$.

No quiere hacer más vestidos de fiesta que de calle $\Rightarrow$ $x\le y$.

El número de vestidos no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}3x+y\le 36\\ 3x+2y\le 60\\ x\le y\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Se representan las rectas que delimitan la región factible. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $O$: es el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}3x+y=36\\ y=x\end{array}\Rightarrow 3x+x=36\Rightarrow 4x=36\Rightarrow x=9\Rightarrow A(9,9)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}3x+y=36\\ 3x+2y=60\end{array}$

Restando la primera de la segunda:

$y=24\Rightarrow 3x+24=36\Rightarrow x=4\Rightarrow B(4,24)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=60\\ x=0\end{array}\Rightarrow 2y=60\Rightarrow y=30\Rightarrow C(0,30)$

Se valora la función beneficio $B(x,y)=100x+65y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$O(0,0)\Rightarrow B(0,0)=0$

$A(9,9)\Rightarrow B(9,9)=900+585=1485$

$B(4,24)\Rightarrow B(4,24)=400+1560=1960$

$C(0,30)\Rightarrow B(0,30)=65\cdot 30=1950$

El beneficio máximo se produce en el vértice $B(4,24)$. Se comprueba que en ese punto se cumplen las tres restricciones:

$\{\begin{array}{l}\text{Tela: }3\cdot 4+24=36\\ \text{Horas: }6\cdot 4+4\cdot 24=24+96=120\\ \text{Vestidos: }4\le 24\end{array}$

La modista tiene que hacer 4 vestidos de fiesta y 24 vestidos de calle, con lo que agota los 36 metros de tela y las 120 horas de trabajo y obtiene un beneficio máximo de $1960\text{ €}$.