Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un corredor aficionado tiene dos tipos de entrenamiento, el corto y el largo. En cada entrenamiento corto, al que dedica 1 hora, corre 15 km y consume 1200 kilocalorías. En cada entrenamiento largo, al que dedica 3 horas, corre 30 km y consume 2500 kilocalorías. Quiere planificar los entrenamientos del verano de forma que haga al menos 24 entrenamientos, pero no corra más de 660 km ni dedique más de 48 horas, en total. Si su objetivo es maximizar el número total de kilocalorías consumidas, plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar cuántos entrenamientos de cada tipo tiene que hacer. ¿Cuántas kilocalorías consumirá en ese caso? (10 puntos)

$\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{kilocalor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{consumidas,}}\mathbf{\text{plantear}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resolver}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{entrenamientos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacer.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{kilocalor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{consumir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso?}}(10\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de entrenamientos cortos e $y$ al número de entrenamientos largos.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Horas}$	$\text{Kil}\acute{\text{o}}\text{metros}$	$\text{Kilocalor}\acute{\text{ı}}\text{as}$
Entrenamientos cortos (x)	x	15x	1200x
Entrenamientos largos (y)	3y	30y	2500y
Totales	x+3y	15x+30y	1200x+2500y
Límite	48	660

La función objetivo que se desea maximizar es el consumo total de kilocalorías: $K(x,y)=1200x+2500y$.

Las restricciones del problema son:

Quiere hacer al menos 24 entrenamientos $\Rightarrow$ $x+y\ge 24$.

No quiere correr más de 660 km $\Rightarrow$ $15x+30y\le 660$, que simplificando entre $15$ queda $x+2y\le 44$.

No quiere dedicar más de 48 horas $\Rightarrow$ $x+3y\le 48$.

El número de entrenamientos no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y\ge 24\\ x+2y\le 44\\ x+3y\le 48\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Se representan las rectas que delimitan la región factible. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x+y=24\\ y=0\end{array}\Rightarrow A(24,0)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=44\\ y=0\end{array}\Rightarrow B(44,0)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=44\\ x+3y=48\end{array}$

Restando la primera de la segunda:

$y=4\Rightarrow x+8=44\Rightarrow x=36\Rightarrow C(36,4)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x+y=24\\ x+3y=48\end{array}$

Restando la primera de la segunda:

$2y=24\Rightarrow y=12\Rightarrow x=12\Rightarrow D(12,12)$

Conviene señalar que el corte de las rectas $x+y=24$ y $x+2y=44$ es el punto $(4,20)$, que no es vértice de la región factible porque no cumple la restricción de las horas:

$4+3\cdot 20=64>48$

Se valora la función $K(x,y)=1200x+2500y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$A(24,0)\Rightarrow K(24,0)=28800$

$B(44,0)\Rightarrow K(44,0)=52800$

$C(36,4)\Rightarrow K(36,4)=43200+10000=53200$

$D(12,12)\Rightarrow K(12,12)=14400+30000=44400$

El consumo máximo se produce en el vértice $C(36,4)$. Se comprueba que en ese punto se cumplen las tres restricciones:

$\{\begin{array}{l}\text{Entrenamientos: }36+4=40\ge 24\\ \text{Kil}\acute{\text{o}}\text{metros: }15\cdot 36+30\cdot 4=540+120=660\\ \text{Horas: }36+3\cdot 4=48\end{array}$

El corredor tiene que hacer 36 entrenamientos cortos y 4 entrenamientos largos, con lo que agota los 660 km y las 48 horas y consume un total de $53200$ kilocalorías.