Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un agricultor siembra dos tipos de cultivos, maíz y trigo, con beneficios económicos de 800 € y 500 € por hectárea, respectivamente. Por cada hectárea, el maíz requiere 200 kg de fertilizante y el trigo requiere 300 kg de fertilizante. La disponibilidad total de fertilizante es de 6000 kg. Además, el agricultor debe plantar al menos 10 hectáreas entre maíz y trigo, y la superficie de maíz no debe exceder a la superficie de trigo.

a) Plantee y resuelva un problema de programación lineal que permita maximizar el beneficio. [8 puntos]

b) Considerando la región factible definida en el apartado anterior y suponiendo que el beneficio por hectárea de maíz es de 800 € y el de trigo es de 1200 €, justifique si $(3,18)$ podría ser una solución óptima del nuevo problema de optimización. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resuelva}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio.}}(8\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de hectáreas sembradas de maíz e $y$ al número de hectáreas sembradas de trigo.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Fertilizante (kg)}$	$\text{Beneficio (€)}$
Hectáreas de maíz (x)	200x	800x
Hectáreas de trigo (y)	300y	500y
Totales	200x+300y	800x+500y

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio total:

$B(x,y)=800x+500y$

Las restricciones del problema son:

Solo se dispone de 6.000 kg de fertilizante $\Rightarrow$ $200x+300y\le 6000$, que simplificado es $2x+3y\le 60$.

Se deben plantar al menos 10 hectáreas en total $\Rightarrow$ $x+y\ge 10$.

La superficie de maíz no debe exceder a la de trigo $\Rightarrow$ $x\le y$.

Las superficies no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}2x+3y\le 60\\ x+y\ge 10\\ x\le y\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x+y=10\\ x=0\end{array}\Rightarrow y=10\Rightarrow A(0,10)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x+y=10\\ y=x\end{array}\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5\Rightarrow B(5,5)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=60\\ y=x\end{array}\Rightarrow 2x+3x=60\Rightarrow 5x=60\Rightarrow x=12\Rightarrow C(12,12)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=60\\ x=0\end{array}\Rightarrow 3y=60\Rightarrow y=20\Rightarrow D(0,20)$

Se valora la función beneficio $B(x,y)=800x+500y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$A(0,10)\Rightarrow B(0,10)=500\cdot 10=5000$

$B(5,5)\Rightarrow B(5,5)=800\cdot 5+500\cdot 5=4000+2500=6500$

$C(12,12)\Rightarrow B(12,12)=800\cdot 12+500\cdot 12=9600+6000=15600$

$D(0,20)\Rightarrow B(0,20)=500\cdot 20=10000$

El beneficio máximo se alcanza en el vértice $C(12,12)$.

El agricultor debe sembrar 12 hectáreas de maíz y 12 hectáreas de trigo, con lo que obtiene un beneficio máximo de $15600\text{ €}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Considerando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{definida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{hect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ma}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{z}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{800}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trigo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1.200}}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{\text{justifique}}\mathbf{\text{si}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">18</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptima}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{optimizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}(2\text{ puntos})$

La región factible es la misma; lo único que cambia es la función objetivo, que ahora es

$B^{\ast }(x,y)=800x+1200y$

Se comprueba en primer lugar que el punto pertenece a la región factible:

$\{\begin{array}{l}2\cdot 3+3\cdot 18=6+54=60\le 60\\ 3+18=21\ge 10\\ 3\le 18\\ 3\ge 0;18\ge 0\end{array}$

El punto $(3,18)$ es factible y, además, cumple con igualdad la restricción del fertilizante, de modo que está sobre el lado que une los vértices $C(12,12)$ y $D(0,20)$.

Se valora ahora la nueva función objetivo en los cuatro vértices:

$A(0,10)\Rightarrow B^{\ast }(0,10)=1200\cdot 10=12000$

$B(5,5)\Rightarrow B^{\ast }(5,5)=800\cdot 5+1200\cdot 5=10000$

$C(12,12)\Rightarrow B^{\ast }(12,12)=9600+14400=24000$

$D(0,20)\Rightarrow B^{\ast }(0,20)=1200\cdot 20=24000$

El máximo, $24000$, se alcanza a la vez en los dos vértices $C$ y $D$. Cuando esto ocurre, la función objetivo es constante sobre todo el lado que los une y cualquier punto de ese lado es también solución óptima. Aquí se ve directamente, porque

$B^{\ast }(x,y)=800x+1200y=400(2x+3y)$

y en todo el segmento $CD$ se cumple $2x+3y=60$, luego $B^{\ast }=400\cdot 60=24000$.

Se comprueba en el punto propuesto:

$B^{\ast }(3,18)=800\cdot 3+1200\cdot 18=2400+21600=24000$

Sí, $(3,18)$ es solución óptima del nuevo problema: pertenece al segmento de extremos $C(12,12)$ y $D(0,20)$, en el que el beneficio alcanza su valor máximo de $24000\text{ €}$.