Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una promotora organiza un festival con dos tipos de actuaciones: grupos internacionales y grupos locales. Cada grupo internacional emplea cuatro horas de actuación en escenario y dos horas para pruebas de sonido, mientras que cada grupo local emplea una hora de actuación en escenario y una hora de pruebas de sonido. En total, la organización dispone de veinticuatro horas de escenario y dieciocho horas de pruebas de sonido. La promotora pretende realizar al menos 6 actuaciones en total (internacionales y locales). La recaudación estimada es de ocho mil euros por cada grupo internacional y de tres mil euros por cada grupo local.

a) Determine la combinación óptima de grupos internacionales y locales que maximiza la recaudación cumpliendo todas las restricciones del enunciado. ¿Cuál es la recaudación máxima? [8 puntos]

b) Si la recaudación por cada grupo local fuese de 4000 euros, determine todas las soluciones óptimas enteras en la nueva situación. ¿Sería razonable programar solo grupos locales? Justifique la respuesta. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{combinaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{grupos}}\mathbf{\text{internacionales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{locales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{maximiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recaudaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cumpliendo}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{restricciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{enunciado.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recaudaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima?}}(8\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de grupos internacionales e $y$ al número de grupos locales que se programan en el festival.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Horas de escenario}$	$\text{Horas de sonido}$	$\text{Recaudaci}\acute{\text{o}}\text{n (€)}$
Grupos internacionales (x)	4x	2x	8000x
Grupos locales (y)	y	y	3000y
Totales	4x+y	2x+y	8000x+3000y

La función objetivo que se desea maximizar es la recaudación total:

$R(x,y)=8000x+3000y$

Las restricciones del problema son:

Solo se dispone de 24 horas de escenario $\Rightarrow$ $4x+y\le 24$.

Solo se dispone de 18 horas de pruebas de sonido $\Rightarrow$ $2x+y\le 18$.

Se pretende realizar al menos 6 actuaciones en total $\Rightarrow$ $x+y\ge 6$.

El número de grupos de cada tipo no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}4x+y\le 24\\ 2x+y\le 18\\ x+y\ge 6\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ x=0\end{array}\Rightarrow y=6\Rightarrow A(0,6)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x+y=6\\ 4x+y=24\end{array}$

Se resta la primera ecuación de la segunda:

$3x=18\Rightarrow x=6\Rightarrow 6+y=6\Rightarrow y=0\Rightarrow B(6,0)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}4x+y=24\\ 2x+y=18\end{array}$

Se resta la segunda ecuación de la primera:

$2x=6\Rightarrow x=3\Rightarrow 2\cdot 3+y=18\Rightarrow y=12\Rightarrow C(3,12)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}2x+y=18\\ x=0\end{array}\Rightarrow y=18\Rightarrow D(0,18)$

Se valora la función recaudación $R(x,y)=8000x+3000y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$A(0,6)\Rightarrow R(0,6)=3000\cdot 6=18000$

$B(6,0)\Rightarrow R(6,0)=8000\cdot 6=48000$

$C(3,12)\Rightarrow R(3,12)=8000\cdot 3+3000\cdot 12=24000+36000=60000$

$D(0,18)\Rightarrow R(0,18)=3000\cdot 18=54000$

La recaudación máxima se alcanza en el vértice $C(3,12)$, y las dos cantidades son números enteros de grupos, como exige el problema.

La promotora debe programar 3 grupos internacionales y 12 grupos locales, con lo que la recaudación máxima asciende a $60000\text{ €}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recaudaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{grupo}}\mathbf{\text{local}}\mathbf{\text{fuese}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4000}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{soluciones}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptimas}}\mathbf{\text{enteras}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{¿Ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{razonable}}\mathbf{\text{programar}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{grupos}}\mathbf{\text{locales?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}(2\text{ puntos})$

La región factible es la misma; lo único que cambia es la función objetivo, que ahora es

$R^{\ast }(x,y)=8000x+4000y$

Se valora en los cuatro vértices:

$A(0,6)\Rightarrow R^{\ast }(0,6)=4000\cdot 6=24000$

$B(6,0)\Rightarrow R^{\ast }(6,0)=8000\cdot 6=48000$

$C(3,12)\Rightarrow R^{\ast }(3,12)=24000+48000=72000$

$D(0,18)\Rightarrow R^{\ast }(0,18)=4000\cdot 18=72000$

El máximo, $72000$, se alcanza a la vez en los vértices $C$ y $D$, así que la función objetivo es constante sobre todo el lado que los une y cualquier punto de ese segmento es solución óptima. Se ve directamente sacando factor común:

$R^{\ast }(x,y)=8000x+4000y=4000(2x+y)$

y en el lado $CD$ se cumple $2x+y=18$, luego $R^{\ast }=4000\cdot 18=72000$.

Como el número de grupos ha de ser entero, se recorren los puntos de ese segmento con $x$ entero entre 0 y 3, tomando $y=18-2x$:

$(0,18),(1,16),(2,14),(3,12)$

Las cuatro combinaciones cumplen todas las restricciones y las cuatro proporcionan la misma recaudación de $72000\text{ €}$.

En cuanto a la última pregunta, programar solo grupos locales es el caso $(0,18)$, que es una de esas cuatro soluciones óptimas: recauda igualmente $72000\text{ €}$, de modo que desde el punto de vista de la recaudación sí sería razonable. Conviene observar, eso sí, que con 18 grupos locales se agotan las 18 horas de pruebas de sonido y quedan sin utilizar 6 de las 24 horas de escenario:

$4\cdot 0+18=18<24,2\cdot 0+18=18$

Es decir, no se gana nada frente a las otras tres combinaciones, y el modelo solo mide la recaudación: no recoge el atractivo que los grupos internacionales aportan al cartel.