Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa de catering ofrece dos tipos de menús: Estándar (A) y Gourmet (B). Preparar un menú A lleva 2 horas y deja un beneficio de 50 euros; un menú B requiere 3 horas y deja un beneficio de 70 euros. La empresa quiere preparar al menos 15 menús, pero no quiere que el número de menús A supere la mitad del número de menús B. Se dispone de un plazo máximo de 96 horas para elaborar todos los menús. [2,5 puntos]

a) Plantee la función objetivo para maximizar el beneficio y el conjunto de restricciones que describen el problema. [0,75 puntos]

b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántos menús de cada tipo debe preparar la empresa para maximizar sus beneficios? [0,5 puntos]

d) ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [0,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{restricciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describen}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de menús Estándar (A) e $y$ al número de menús Gourmet (B) que prepara la empresa.

Se ordena en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Horas}$	$\text{Beneficio (€)}$
Menús A (x)	2x	50x
Menús B (y)	3y	70y
Totales	2x + 3y	50x + 70y

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio:

$B(x,y)=50x+70y$

Las restricciones del problema son:

Se preparan al menos 15 menús $\Rightarrow$ $x+y\ge 15$.

El número de menús A no supera la mitad del de menús B $\Rightarrow$ $x\le {\displaystyle \frac{y}{2}}$, es decir, $2x\le y$.

El plazo máximo es de 96 horas $\Rightarrow$ $2x+3y\le 96$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y\ge 15\\ 2x\le y\\ 2x+3y\le 96\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano,}}\mathbf{\text{calculando}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x+y=15\\ x=0\end{array}\Rightarrow y=15\Rightarrow A(0,15)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x+y=15\\ y=2x\end{array}\Rightarrow x+2x=15\Rightarrow x=5\Rightarrow y=10\Rightarrow B(5,10)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}y=2x\\ 2x+3y=96\end{array}\Rightarrow 2x+6x=96\Rightarrow x=12\Rightarrow y=24\Rightarrow C(12,24)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=96\\ x=0\end{array}\Rightarrow 3y=96\Rightarrow y=32\Rightarrow D(0,32)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(0,15)$, $B(5,10)$, $C(12,24)$ y $D(0,32)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{men}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{preparar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{beneficios?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $B$ en los cuatro.

$B(0,15)=70\cdot 15=1050$

$B(5,10)=50\cdot 5+70\cdot 10=250+700=950$

$B(12,24)=50\cdot 12+70\cdot 24=600+1680=2280$

$B(0,32)=70\cdot 32=2240$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $C(12,24)$. Se comprueba que esa producción agota justo el plazo disponible:

$2\cdot 12+3\cdot 24=24+72=96\text{ horas}$

La empresa debe preparar 12 menús Estándar y 24 menús Gourmet.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El beneficio máximo es el valor de la función objetivo en ese vértice.

$B(12,24)=2280$

El beneficio asciende a 2280 euros.