Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Con el objetivo de maximizar beneficios, un obrador cántabro amplía su producción diaria máxima hasta las 400 tartas de queso y 900 quesadas, con las que elabora dos tipos de pack, A y B. El pack A contiene 4 tartas de queso y 12 quesadas, y le confiere al obrador un beneficio neto de 44 €. El pack B contiene 2 tartas de queso y 3 quesadas, y le confiere al obrador un beneficio neto de 16 €. [2,5 puntos]

a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [0,75 puntos]

b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántos packs de cada tipo debe producir el obrador en un día para que el beneficio obtenido sea máximo? [0,5 puntos]

d) ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [0,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{restricciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describen}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de packs A e $y$ al número de packs B que elabora el obrador en un día.

Se ordena en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Tartas de queso}$	$\text{Quesadas}$	$\text{Beneficio (€)}$
Packs A (x)	4x	12x	44x
Packs B (y)	2y	3y	16y
Totales	4x + 2y	12x + 3y	44x + 16y

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio neto diario:

$B(x,y)=44x+16y$

Las restricciones del problema son:

La producción diaria máxima es de 400 tartas de queso $\Rightarrow$ $4x+2y\le 400$, que dividida entre 2 queda $2x+y\le 200$.

La producción diaria máxima es de 900 quesadas $\Rightarrow$ $12x+3y\le 900$, que dividida entre 3 queda $4x+y\le 300$.

El número de packs no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}2x+y\le 200\\ 4x+y\le 300\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano,}}\mathbf{\text{calculando}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: es el origen, $A(0,0)$.

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}4x+y=300\\ y=0\end{array}\Rightarrow 4x=300\Rightarrow x=75\Rightarrow B(75,0)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}4x+y=300\\ 2x+y=200\end{array}\Rightarrow 2x=100\Rightarrow x=50\Rightarrow y=100\Rightarrow C(50,100)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}2x+y=200\\ x=0\end{array}\Rightarrow y=200\Rightarrow D(0,200)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(75,0)$, $C(50,100)$ y $D(0,200)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{packs}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{obrador}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $B$ en los cuatro.

$B(0,0)=0$

$B(75,0)=44\cdot 75=3300$

$B(50,100)=44\cdot 50+16\cdot 100=2200+1600=3800$

$B(0,200)=16\cdot 200=3200$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $C(50,100)$. Se comprueba que esa producción agota las dos materias primas:

$4\cdot 50+2\cdot 100=200+200=400\text{ tartas}$

$12\cdot 50+3\cdot 100=600+300=900\text{ quesadas}$

El obrador debe producir 50 packs A y 100 packs B al día.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El beneficio máximo es el valor de la función objetivo en ese vértice.

$B(50,100)=3800$

El beneficio asciende a 3800 euros.