Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa de alquiler de vehículos necesita ampliar su flota con el objetivo de maximizar beneficios, para lo cual adquiere nuevos utilitarios y deportivos. Como máximo, tiene planeado adquirir un total de 120 vehículos. Tiene claro que no comprará más de 90 utilitarios ni menos de 10 deportivos. Además, quiere que el número de utilitarios sea, al menos, el doble del de deportivos. Teniendo en cuenta que al final de su vida útil espera haber obtenido un beneficio de 25000 € por cada utilitario y de 40000 € por cada deportivo: [2,5 puntos]

a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [0,75 puntos]

b) Dibuje la región factible en el plano, identificando claramente sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántos utilitarios y cuántos deportivos debe adquirir la empresa para maximizar el beneficio? [0,5 puntos]

d) ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [0,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{restricciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describen}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de utilitarios e $y$ al número de deportivos que adquiere la empresa.

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio total al final de la vida útil de la flota:

$B(x,y)=25000x+40000y$

Las restricciones del problema son:

Como máximo se adquieren 120 vehículos en total $\Rightarrow$ $x+y\le 120$.

No se comprarán más de 90 utilitarios $\Rightarrow$ $x\le 90$.

No se comprarán menos de 10 deportivos $\Rightarrow$ $y\ge 10$.

El número de utilitarios es al menos el doble del de deportivos $\Rightarrow$ $x\ge 2y$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y\le 120\\ x\le 90\\ y\ge 10\\ x\ge 2y\end{array}$

No hace falta añadir $x\ge 0$ ni $y\ge 0$: la última restricción y $y\ge 10$ ya obligan a que las dos variables sean positivas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano,}}\mathbf{\text{identificando}}\mathbf{\text{claramente}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}y=10\\ x=2y\end{array}\Rightarrow x=20\Rightarrow A(20,10)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}y=10\\ x=90\end{array}\Rightarrow B(90,10)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x=90\\ x+y=120\end{array}\Rightarrow y=30\Rightarrow C(90,30)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x+y=120\\ x=2y\end{array}\Rightarrow 2y+y=120\Rightarrow y=40\Rightarrow x=80\Rightarrow D(80,40)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(20,10)$, $B(90,10)$, $C(90,30)$ y $D(80,40)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{utilitarios}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{deportivos}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{adquirir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $B$ en los cuatro.

$B(20,10)=25000\cdot 20+40000\cdot 10=500000+400000=900000$

$B(90,10)=2250000+400000=2650000$

$B(90,30)=2250000+1200000=3450000$

$B(80,40)=2000000+1600000=3600000$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $D(80,40)$. Se comprueba que esa compra agota el total de vehículos y respeta la proporción: $80+40=120$ y $80=2\cdot 40$.

La empresa debe adquirir 80 utilitarios y 40 deportivos.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El beneficio máximo es el valor de la función objetivo en ese vértice.

$B(80,40)=3600000$

El beneficio asciende a 3600000 euros.