Examen de Matemáticas CCSS de Aragón 2020 (convocatoria extraordinaria)

Un corredor aficionado tiene dos tipos de entrenamiento, el corto y el largo. En cada entrenamiento corto, al que dedica 1 hora, corre 15 km y consume 1200 kilocalorías. En cada entrenamiento largo, al que dedica 3 horas, corre 30 km y consume 2500 kilocalorías. Quiere planificar los entrenamientos del verano de forma que haga al menos 24 entrenamientos, pero no corra más de 660 km ni dedique más de 48 horas, en total. Si su objetivo es maximizar el número total de kilocalorías consumidas, plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar cuántos entrenamientos de cada tipo tiene que hacer. ¿Cuántas kilocalorías consumirá en ese caso? (10 puntos)

En un museo las entradas cuestan 1 euro para los niños, 2 euros para los jóvenes y 5 euros para los adultos. Ayer se recaudaron un total de 600 euros y se sabe que el número de adultos que visitó el museo fue igual al doble de la suma del número de niños más el número de jóvenes; además, si hubiesen visitado el museo 100 jóvenes más, el número de jóvenes habría sido igual a la suma del número de niños más el número de adultos. Plantear y resolver un sistema de ecuaciones lineales para determinar el número de niños, jóvenes y adultos que visitaron el museo. (10 puntos)

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-4x+12}{x-1}}$ calcular:

a) Dominio de $f$. (1 punto)

b) ¿Para qué valores de $x$ se cumple $f(x)<0$? (3 puntos)

c) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. (2 puntos)

d) Máximos y mínimos relativos de $f$. (4 puntos)

Dada la función, definida para $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3}{x+1}}& \text{si }x<-1\\ x^3-4x^2+2x-10& \text{si }-1\le x\le 4\\ \sqrt{4x^2-7x}-2x& \text{si }x>4\end{array}$

a) Estudiar la continuidad de $f$. (3 puntos)

b) Calcular ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$. (4,5 puntos)

c) Calcular ${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)dx}$. (2,5 puntos)

En una bolsa tenemos 8 bolas: 3 blancas, 1 roja y 4 negras. Extraemos dos bolas sin reemplazamiento. Calcular:

a) La probabilidad de que las dos sean blancas. (2 puntos)

b) La probabilidad de que al menos una sea blanca. (3 puntos)

c) La probabilidad de que las dos sean del mismo color. (2 puntos)

d) Si las dos bolas son del mismo color, la probabilidad de que sean blancas. (3 puntos)

El ayuntamiento de una ciudad quiere estimar la proporción de hogares que tiene Internet de alta velocidad. Para ello, va a visitar una muestra aleatoria simple de hogares para saber si tienen Internet de alta velocidad y, a partir de los resultados, va a construir el intervalo de confianza correspondiente, a nivel de confianza del 94 %.

a) Si quiere que el intervalo no tenga una amplitud mayor que 0,1, ¿qué tamaño de la muestra debe escoger? (6 puntos)

b) Decide tomar una muestra de 200 hogares y, de ellos, 112 tienen Internet de alta velocidad. Calcular el intervalo de confianza al 94 % para la proporción de hogares de la ciudad que tienen Internet de alta velocidad. (4 puntos)