Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En un museo las entradas cuestan 1 euro para los niños, 2 euros para los jóvenes y 5 euros para los adultos. Ayer se recaudaron un total de 600 euros y se sabe que el número de adultos que visitó el museo fue igual al doble de la suma del número de niños más el número de jóvenes; además, si hubiesen visitado el museo 100 jóvenes más, el número de jóvenes habría sido igual a la suma del número de niños más el número de adultos. Plantear y resolver un sistema de ecuaciones lineales para determinar el número de niños, jóvenes y adultos que visitaron el museo. (10 puntos)

$\mathbf{\text{Plantear}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resolver}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ni}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{visitaron}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{museo.}}(10\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de niños, $y$ al número de jóvenes y $z$ al número de adultos que visitaron el museo.

Se recaudaron 600 euros en total, a 1 € por niño, 2 € por joven y 5 € por adulto:

$x+2y+5z=600$

El número de adultos fue el doble de la suma de niños y jóvenes:

$z=2(x+y)\Rightarrow 2x+2y-z=0$

Si hubiesen visitado el museo 100 jóvenes más, el número de jóvenes habría sido igual a la suma del número de niños más el número de adultos:

$y+100=x+z\Rightarrow -x+y-z=-100$

Se reúnen las tres ecuaciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}x+2y+5z=600\\ 2x+2y-z=0\\ -x+y-z=-100\end{array}$

Se resuelve por sustitución, que aquí es lo más corto. De la segunda ecuación:

$z=2x+2y$

Se sustituye en la tercera:

$-x+y-(2x+2y)=-100\Rightarrow -3x-y=-100\Rightarrow y=100-3x$

Se sustituye ahora en la expresión de $z$:

$z=2x+2(100-3x)=2x+200-6x=200-4x$

Y por último se lleva todo a la primera ecuación:

$x+2(100-3x)+5(200-4x)=600$

$x+200-6x+1000-20x=600\Rightarrow -25x+1200=600$

$-25x=-600\Rightarrow x=24$

$y=100-3\cdot 24=100-72=28$

$z=200-4\cdot 24=200-96=104$

Se comprueban las tres condiciones del enunciado:

$\{\begin{array}{l}\text{Recaudaci}\acute{\text{o}}\text{n: }24+2\cdot 28+5\cdot 104=24+56+520=600\\ \text{Adultos: }2(24+28)=104\\ \text{J}\acute{\text{o}}\text{venes: }28+100=128=24+104\end{array}$

Visitaron el museo 24 niños, 28 jóvenes y 104 adultos.