Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una organización encargada de un evento deportivo tiene un presupuesto de 500 euros para adquirir material promocional. El material incluye banderas, camisetas y gorras. Los precios de cada artículo por unidad son de 5, 6 y 2 euros, respectivamente. La cantidad de camisetas debe ser la mitad de la cantidad de gorras, y la suma de banderas y camisetas debe ser 70. [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las unidades que deben comprarse de cada artículo si se pretende agotar el presupuesto disponible. [0,9 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]

c) Resuélvalo. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permite}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{comprarse}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{art}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pretende}}\mathbf{\text{agotar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{presupuesto}}\mathbf{\text{disponible.}}\mathbf{\text{[0,9}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de banderas, $y$ al de camisetas y $z$ al de gorras, y se traducen a ecuaciones las tres condiciones del enunciado.

i) Se agota el presupuesto de 500 euros, a 5, 6 y 2 euros la unidad:

$5x+6y+2z=500$

ii) La cantidad de camisetas es la mitad de la de gorras:

$y={\displaystyle \frac{z}{2}}\Rightarrow 2y-z=0$

iii) La suma de banderas y camisetas es 70:

$x+y=70$

El sistema pedido es

$\{\begin{array}{l}5x+6y+2z=500\\ 2y-z=0\\ x+y=70\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Analice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compatibilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 6& 2\\ 0& 2& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(0-6+0)-(4+0-5)=-6+1=-5$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-5\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado: hay una única compra posible que agota el presupuesto.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se resuelve por sustitución, aprovechando que la segunda ecuación da $z$ en función de $y$.

$z=2y$

Se sustituye en la primera ecuación:

$5x+6y+2\cdot 2y=500\Rightarrow 5x+10y=500\Rightarrow x+2y=100$

Junto con la tercera ecuación queda un sistema de dos incógnitas:

$\{\begin{array}{l}x+2y=100\\ x+y=70\end{array}$

Restando la segunda de la primera:

$y=30$

$x=70-30=40,z=2\cdot 30=60$

Se comprueba el presupuesto: $5\cdot 40+6\cdot 30+2\cdot 60=200+180+120=500$ euros.

Deben comprarse 40 banderas, 30 camisetas y 60 gorras.