Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un museo ofrece entradas con tarifas distintas: adulto, niño y jubilado. La suma de las tarifas de adulto y jubilado es cinco veces la tarifa de niño. Además, se sabe que un grupo de 5 adultos, 3 niños y 3 jubilados, ha pagado 222 €; y otro grupo de 3 adultos, 2 niños y 4 jubilados, 168 €. [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las tres tarifas. [1 punto]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [1 punto]

c) Resuélvalo. [0,25 puntos]

d) El día que una familia formada por 2 adultos, 2 niños y 3 jubilados visita el museo, se ha aplicado un descuento especial de un 15 % a cada tarifa. ¿Cuánto pagan en total? [0,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permite}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{tarifas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se llama $x$ a la tarifa de adulto, $y$ a la de niño y $z$ a la de jubilado, todas en euros.

i) La suma de las tarifas de adulto y jubilado es cinco veces la de niño:

$x+z=5y$

ii) Un grupo de 5 adultos, 3 niños y 3 jubilados pagó 222 €:

$5x+3y+3z=222$

iii) Otro grupo de 3 adultos, 2 niños y 4 jubilados pagó 168 €:

$3x+2y+4z=168$

Ordenando las incógnitas, el sistema es

$\{\begin{array}{l}x-5y+z=0\\ 5x+3y+3z=222\\ 3x+2y+4z=168\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Analice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compatibilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -5& 1\\ 5& 3& 3\\ 3& 2& 4\end{array}\right)$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(12-45+10)-(9+6-100)=-23+85=62$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=62\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado: las tres tarifas quedan determinadas de forma única.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

De la primera ecuación se despeja $z=5y-x$ y se sustituye en las otras dos.

$5x+3y+3(5y-x)=222\Rightarrow 2x+18y=222\Rightarrow x+9y=111$

$3x+2y+4(5y-x)=168\Rightarrow -x+22y=168$

Sumando las dos ecuaciones resultantes:

$31y=279\Rightarrow y=9$

$x=111-9\cdot 9=111-81=30$

$z=5\cdot 9-30=45-30=15$

Se comprueba con el segundo grupo: $3\cdot 30+2\cdot 9+4\cdot 15=90+18+60=168$ €.

La entrada de adulto cuesta 30 €, la de niño 9 € y la de jubilado 15 €.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{familia}}\mathbf{\text{formada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{adultos,}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{ni}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{jubilados}}\mathbf{\text{visita}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{museo,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{aplicado}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{descuento}}\mathbf{\text{especial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tarifa.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{pagan}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total?}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calcula primero lo que costarían las entradas sin descuento.

$2\cdot 30+2\cdot 9+3\cdot 15=60+18+45=123\text{ €}$

Aplicar un descuento del 15 % a cada tarifa equivale a pagar el 85 % del total, porque el descuento afecta por igual a todos los sumandos.

$123\cdot \mathrm{0,85}=\mathrm{104,55}$

La familia paga en total 104,55 euros.