Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En un almacén de construcción venden sacos de cemento de 25 kg, 50 kg y 100 kg. Cierto día se vendió un total de 180 sacos por un importe de 29200 €. Se sabe que el precio del kg de cemento es de 4 € y que ese día se vendieron el doble de sacos de 25 kg que la suma de los sacos de 50 kg más los de 100 kg. [2,5 puntos]

a) Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular cuántos sacos de cada tamaño se vendieron ese día. [1,25 puntos]

b) Resuélvalo. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{sacos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{vendieron}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de sacos de 25 kg, $y$ al de 50 kg y $z$ al de 100 kg, y se traducen a ecuaciones las tres condiciones del enunciado.

i) Se vendieron 180 sacos en total:

$x+y+z=180$

ii) El importe fue de 29200 € a 4 € el kilogramo, de modo que se vendieron ${\displaystyle \frac{29200}{4}}=7300$ kg de cemento:

$25x+50y+100z=7300$

iii) Se vendieron el doble de sacos de 25 kg que la suma de los otros dos:

$x=2(y+z)$

El sistema pedido es

$\{\begin{array}{l}x+y+z=180\\ 25x+50y+100z=7300\\ x-2y-2z=0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Antes de resolver se simplifica la segunda ecuación dividiéndola entre 25.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=180\\ x+2y+4z=292\\ x-2y-2z=0\end{array}$

Sumando la primera y la tercera se elimina de golpe la suma $y+z$:

$(x+y+z)+(x-2y-2z)=180\Rightarrow 2x-y-z=180$

Como de la primera ecuación $y+z=180-x$, se sustituye:

$2x-(180-x)=180\Rightarrow 3x=360\Rightarrow x=120$

Con ese valor, $y+z=180-120=60$, y la segunda ecuación queda

$120+2y+4z=292\Rightarrow 2y+4z=172\Rightarrow y+2z=86$

Restando $y+z=60$:

$z=26\Rightarrow y=60-26=34$

Se comprueba el importe: $4(25\cdot 120+50\cdot 34+100\cdot 26)=4\cdot 7300=29200$ €.

Ese día se vendieron 120 sacos de 25 kg, 34 sacos de 50 kg y 26 sacos de 100 kg.