Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una empresa de 244 trabajadores se compone de operarios, supervisores y gerentes; siendo el número de operarios ocho veces el de gerentes. Además, se sabe que un día en el que faltaron la mitad de los supervisores y el 60 % de los gerentes, el número de operarios fue cuatro veces la suma de los supervisores y los gerentes que se quedaron. [2,5 puntos]

a) Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular cuántos operarios, cuántos supervisores y cuántos gerentes componen la empresa. [1,25 puntos]

b) Resuélvalo. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{operarios,}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{supervisores}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{gerentes}}\mathbf{\text{componen}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de operarios, $y$ al de supervisores y $z$ al de gerentes, y se traducen a ecuaciones las tres condiciones del enunciado.

i) La empresa tiene 244 trabajadores:

$x+y+z=244$

ii) El número de operarios es ocho veces el de gerentes:

$x=8z$

iii) El día que faltaron la mitad de los supervisores y el 60 % de los gerentes se quedaron ${\displaystyle \frac{y}{2}}$ supervisores y $\mathrm{0,4}z$ gerentes, y el número de operarios fue cuatro veces esa suma:

$x=4({\displaystyle \frac{y}{2}}+\mathrm{0,4}z)=2y+\mathrm{1,6}z$

El sistema pedido es

$\{\begin{array}{l}x+y+z=244\\ x-8z=0\\ x-2y-\mathrm{1,6}z=0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La segunda ecuación da $x$ en función de $z$, así que se sustituye en la tercera para despejar $y$.

$8z=2y+\mathrm{1,6}z\Rightarrow \mathrm{6,4}z=2y\Rightarrow y=\mathrm{3,2}z$

Se llevan las dos expresiones a la primera ecuación.

$8z+\mathrm{3,2}z+z=244\Rightarrow \mathrm{12,2}z=244\Rightarrow z=20$

$y=\mathrm{3,2}\cdot 20=64,x=8\cdot 20=160$

Se comprueba la tercera condición: ese día quedaron ${\displaystyle \frac{64}{2}}=32$ supervisores y $\mathrm{0,4}\cdot 20=8$ gerentes, y $4(32+8)=160$ operarios.

La empresa tiene 160 operarios, 64 supervisores y 20 gerentes.