Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Clasifique el sistema de ecuaciones $(S)$ utilizando el teorema de Rouché-Frobenius y, si es posible, calcule la solución.

$(S)\equiv \{\begin{array}{l}x-y+2z=-4,\\ 3x-5y+8z=-14,\\ x+3y-4z=2.\end{array}$

[5 puntos]

$(S)\equiv \{\begin{array}{l}x-y+2z=-4\\ 3x-5y+8z=-14\\ x+3y-4z=2\end{array}$

Se escriben la matriz de los coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^{\ast }$.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& -5& 8\\ 1& 3& -4\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& -4\\ 3& -5& 8& -14\\ 1& 3& -4& 2\end{array}\right)$

El teorema de Rouché-Frobenius compara los rangos de las dos matrices con el número de incógnitas, así que se empieza calculando el determinante de $M$ por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& -5& 8\\ 1& 3& -4\end{array}\mid =(20+(-8)+18)-((-10)+24+12)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=30-26=4\mathrm{\ne }0$

Como el determinante es distinto de cero, $\mathrm{rg}(M)=3$. La matriz ampliada contiene a $M$ y solo tiene tres filas, así que $\mathrm{rg}(M^{\ast })=3$ también.

$\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado: tiene solución única.

Se resuelve por reducción. A la segunda ecuación se le resta la primera multiplicada por 3, y a la tercera se le resta la primera:

$\{\begin{array}{l}(3x-5y+8z)-3(x-y+2z)=-14-3(-4)\\ (x+3y-4z)-(x-y+2z)=2-(-4)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-2y+2z=-2\\ 4y-6z=6\end{array}$

Se simplifican las dos ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}-y+z=-1\\ 2y-3z=3\end{array}$

De la primera se despeja $y=z+1$ y se sustituye en la segunda:

$2(z+1)-3z=3\Rightarrow 2z+2-3z=3\Rightarrow -z=1\Rightarrow z=-1$

$y=-1+1=0$

Se sustituye en la primera ecuación del sistema inicial:

$x-0+2(-1)=-4\Rightarrow x-2=-4\Rightarrow x=-2$

Se comprueba la solución en la segunda ecuación: $3(-2)-5\cdot 0+8(-1)=-6-8=-14$.

El sistema es compatible determinado y su única solución es $x=-2$, $y=0$, $z=-1$.