Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{l}x+ay-z=1\\ 2x-y+az=2\\ x+y+z=3\end{array}$

Realice las tareas que se describen a continuación: [3 puntos]

a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$. [2 puntos]

b) Resuelva el sistema de ecuaciones para $a=-2$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se discute por el teorema de Rouché-Frobenius comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& -1\\ 2& -1& a\\ 1& 1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& a& -1& 1\\ 2& -1& a& 2\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right)$

Se calcula el determinante de $A$ por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(-1+a^2-2)-(1+a+2a)=a^2-3a-4$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a^2-3a-4=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 5}{2}}$

$\{\begin{array}{l}a=4\\ a=-1\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }-1$ y $a\mathrm{\ne }4$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Se estudian ahora los dos valores que anulan el determinante. Para $a=4$:

$\mid \begin{array}{cc}1& 4\\ 2& -1\end{array}\mid =-1-8=-9\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Se orla ese menor con la columna de términos independientes.

$\mid \begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 2& -1& 2\\ 1& 1& 3\end{array}\mid =(-3+8+2)-(-1+2+24)=7-25=-18\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Para $a=-1$ se repite el razonamiento:

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\mid =-1+2=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& -1& 2\\ 1& 1& 3\end{array}\mid =(-3-2+2)-(-1+2-6)=-3+5=2\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

El sistema es compatible determinado para todo valor de $a$ distinto de $-1$ y de $4$, y es incompatible para $a=-1$ y para $a=4$. No hay ningún valor del parámetro que lo haga compatible indeterminado.



Para $a=-2$ el sistema es compatible determinado, según el apartado anterior, de modo que se resuelve por la regla de Cramer.

$\{\begin{array}{l}x-2y-z=1\\ 2x-y-2z=2\\ x+y+z=3\end{array}$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(-2{)}^2-3(-2)-4=4+6-4=6$

$\mathrm{\mid }{A}_x\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ 2& -1& -2\\ 3& 1& 1\end{array}\mid =(-1+12-2)-(3-2-4)=9+3=12$

$\mathrm{\mid }{A}_y\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 2& -2\\ 1& 3& 1\end{array}\mid =0$

Este último determinante se anula sin necesidad de desarrollarlo, porque la segunda fila es el doble de la primera.

$\mathrm{\mid }{A}_z\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 2& -1& 2\\ 1& 1& 3\end{array}\mid =(-3-4+2)-(-1+2-12)=-5+11=6$

$x={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{A}_x\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{12}{6}}=2,y={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{A}_y\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{0}{6}}=0,z={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{A}_z\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{6}{6}}=1$

Se comprueba la solución en la tercera ecuación: $2+0+1=3$.

Para $a=-2$ la única solución del sistema es $x=2$, $y=0$ y $z=1$.