Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Durante una semana en la librería se aplicó un descuento del 10 % sobre el precio original de cada artículo. En esa semana, un cliente compró una novela, un cuaderno y una mochila, y pagó en total 117 euros después del descuento. Antes del descuento, el precio del cuaderno era la cuarta parte del precio de la novela y el precio de la mochila era el doble del precio de la novela. Determine el precio original de cada uno de los tres artículos. [5 puntos]

$\mathbf{\text{Durante}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{librer}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{aplic}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{descuento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{original}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{art}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{semana,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{compr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{novela,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuaderno}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mochila,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{pag}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{117}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{descuento.}}\mathbf{\text{Antes}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{descuento,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cuaderno}}\mathbf{\text{era}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuarta}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{novela}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mochila}}\mathbf{\text{era}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{novela.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{original}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{art}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos.}}(5\text{ puntos})$

Se llama $x$ al precio original de la novela, $y$ al del cuaderno y $z$ al de la mochila, los tres en euros.

Con un descuento del 10 \% el cliente paga el 90 \% del precio original, y en total ha pagado 117 €:

$\mathrm{0,9}(x+y+z)=117$

El precio del cuaderno era la cuarta parte del de la novela:

$y={\displaystyle \frac{x}{4}}$

El precio de la mochila era el doble del de la novela:

$z=2x$

Se reúnen las tres ecuaciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}\mathrm{0,9}(x+y+z)=117\\ y={\displaystyle \frac{x}{4}}\\ z=2x\end{array}$

De la primera ecuación se obtiene la suma de los tres precios originales:

$x+y+z={\displaystyle \frac{117}{\mathrm{0,9}}}=130$

Se sustituyen las dos últimas ecuaciones en esta:

$x+{\displaystyle \frac{x}{4}}+2x=130$

Se reduce a común denominador:

${\displaystyle \frac{4x+x+8x}{4}}=130\Rightarrow {\displaystyle \frac{13x}{4}}=130\Rightarrow 13x=520\Rightarrow x=40$

$y={\displaystyle \frac{40}{4}}=10,z=2\cdot 40=80$

Se comprueba el resultado: $40+10+80=130$ y $\mathrm{0,9}\cdot 130=117$ €.

Los precios originales eran de $40\text{ €}$ la novela, $10\text{ €}$ el cuaderno y $80\text{ €}$ la mochila.