Examen de Matemáticas CCSS de Aragón 2026 (convocatoria ordinaria)

Una librería organiza semanalmente sus pedidos en dos tipos de lotes: lotes de *Novedades* y lotes de *Reposición*. Cada lote de *Novedades* requiere 3 horas de trabajo en el departamento de recepción y 1 hora en el de etiquetado, mientras que cada lote de *Reposición* requiere 1 hora en recepción y 2 horas en etiquetado. Cada departamento dispone como máximo de 100 horas semanales para realizar cada una de estas tareas. La librería obtiene un beneficio de 500 euros por cada lote de *Novedades* y de 400 euros por cada lote de *Reposición*. Además, para garantizar una actividad comercial mínima, la librería se compromete a preparar al menos 40 lotes en total cada semana (sumando ambos tipos).

a) Determine cuántos lotes de *Novedades* y cuántos de *Reposición* debe preparar la librería semanalmente para maximizar el beneficio, cumpliendo todas las restricciones del enunciado, así como el beneficio máximo que puede alcanzar. [8 puntos]

b) Razone si preparar 10 lotes de *Novedades* y 40 de *Reposición* semanalmente satisface las restricciones del enunciado. En caso afirmativo, ¿es una solución óptima? [2 puntos]

En la librería se ha observado que un aumento en el precio del libro en papel puede provocar un aumento de las descargas ilegales. Para estudiar este comportamiento, se considera la siguiente función:

$D(x)=-4x^3+36x^2+864x+400$

que aproxima el número de descargas ilegales en función del aumento de precio ($x$) (en euros) sobre un precio base de 10 euros, con $2\le x\le 15$.

a) Calcule el número de descargas ilegales para aumentos del precio de 2 y de 15 euros. Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función $D(x)$ en $2\le x\le 15$. Determine los valores mínimo y máximo de descargas ilegales y el precio final en el que se alcanzan, indicando si se trata de extremos relativos y/o absolutos. [8 puntos]

b) Calcule, si existen, los puntos de inflexión de $D(x)$. Estudie la curvatura (concavidad/convexidad) de la función en el intervalo $2\le x\le 15$. [2 puntos]

La librería quiere obtener información para prever la demanda y planificar mejor los pedidos. Para ello se toma una muestra aleatoria simple de 100 clientes y se observa que 52 de ellos realizan compras online al menos una vez al mes.

a) A partir de dicha muestra, se desea estimar la proporción de clientes de la librería que realizan compras online al menos una vez al mes. Calcule un intervalo de confianza del 96 % para dicha proporción. A la vista del intervalo obtenido, razone si hay motivos para dudar que la proporción real de clientes que realizan compras online al menos una vez al mes es del 65 %. Justifique su respuesta. [5 puntos]

b) Suponga ahora que la proporción real de clientes que realizan compras online al menos una vez al mes es igual a la estimada en la muestra. Si se seleccionan 10 clientes al azar con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que exactamente 6 de ellos realicen compras online al menos una vez al mes. [5 puntos]

Durante una semana en la librería se aplicó un descuento del 10 % sobre el precio original de cada artículo. En esa semana, un cliente compró una novela, un cuaderno y una mochila, y pagó en total 117 euros después del descuento. Antes del descuento, el precio del cuaderno era la cuarta parte del precio de la novela y el precio de la mochila era el doble del precio de la novela. Determine el precio original de cada uno de los tres artículos. [5 puntos]

En la librería se ha estudiado el beneficio semanal (en cientos de euros) en función del tiempo ($x$) (en días) transcurrido desde el inicio de una campaña promocional, y se ha modelizado por la función:

$B(x)=3x^2+ax+1$

Se sabe que el beneficio total acumulado durante los dos primeros días de la campaña ha sido de 3000 euros, lo que se expresa mediante la condición:

${\displaystyle {\int }_0^{2}B(x)\mathrm{d}x=30}$

Determine el valor del parámetro $a$. [5 puntos]

En la librería, durante una semana, se ofrecen tres promociones: descuento en novelas (A), descuento en manuales (B) y un vale para accesorios (C). De cada 1000 clientes de la librería, 300 reciben la promoción A, el 50 % recibe la promoción B y el resto recibe la promoción C. Se sabe, además, que la probabilidad de que un cliente realice una compra esa semana es 0,6 si ha recibido la promoción A. Por otro lado, se conoce que el 80 % de los clientes que han recibido la promoción B y el 70 % de los que han recibido la promoción C realizan una compra durante esa semana. Se elige al azar un cliente de la librería y se sabe que ha realizado una compra esa semana. Calcule la probabilidad de que dicho cliente hubiera recibido la promoción A. [5 puntos]