Examen de Matemáticas CCSS de Aragón 2023 (convocatoria ordinaria)

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Determine el orden (dimensión) de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $ABX=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right)$ esté bien planteada, siendo $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -12& -8& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\\ 1& 6\end{array}\right)$. Calcule $X$. (5 puntos)

b) Determine el valor o valores del parámetro $m$ para que el sistema $(S)$ sea compatible y calcule la solución del mismo para $m=3$.

$(S)\{\begin{array}{l}2x-5y+3z=0\\ x-y+z=0\\ 3x+my+z=0\end{array}$ (5 puntos)

Un comerciante dispone de 120 jamones, 390 botellas de vino y 240 botellas de cava para elaborar dos tipos de lotes navideños. El lote $(A)$ consta de un jamón y dos botellas de vino y el lote $(B)$ consta de un jamón, cinco botellas de vino y cuatro botellas de cava. Si el ingreso por la venta de cada lote $(A)$ es de 90 € y por cada lote $(B)$ es de 180 €, se pide:

a) Plantee y resuelva un problema de programación lineal que permita calcular el número de lotes de cada tipo que maximiza el ingreso obtenido. ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo? (8 puntos)

b) En la solución óptima, ¿se agotan todas las existencias de jamones, botellas de vino y botellas de cava? Razone la respuesta. (2 puntos)

Sea $P(t)=1.000(15+{\displaystyle \frac{t}{100+t^2}})$ una función que representa el número de habitantes de cierta población, siendo $t$ el número de años transcurridos desde el año 2.000. Se pide:

a) Calcule el tamaño de la población en un horizonte infinito de tiempo. (2 puntos)

b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la población. ¿En qué momento la población es máxima? ¿Y cuántos habitantes tiene la población en ese momento? (5 puntos)

c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para obtener una población de 15.040 individuos? (3 puntos)

Sean las funciones $g(x)=a{(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}x)}^3$, $h(x)={\displaystyle \frac{x^2+x-2}{x^2-x}}$.

a) Calcule ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }h(x)}$. (3 puntos)

b) Determine el valor de $a\in \mathbb{R}$ para que $f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x)& \text{si }x\le 1\\ h(x)& \text{si }x>1\end{array}$ sea continua en $x=1$, siendo $g(x)$, $h(x)$ las funciones del enunciado. (4 puntos)

c) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^2(1-2x{)}^{3}dx}$. (3 puntos)

En cierta Facultad de Economía se oferta una misma asignatura en tres grupos, que denotaremos por G1, G2, G3. Los grupos representan el 40 %, el 35 % y el 25 % de los estudiantes, respectivamente. Superan la asignatura el 80 % del grupo G1, el 60 % del grupo G2 y el 92 % del grupo G3. Calcule la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar:

a) Haya superado la asignatura y sea del grupo G3. (2 puntos)

b) No haya superado la asignatura. (2 puntos)

c) Haya superado la asignatura. (2 puntos)

d) Ni haya superado la asignatura ni sea del grupo G1. (2 puntos)

e) Si el estudiante elegido al azar ha superado la asignatura, calcule la probabilidad de ser del grupo G3. (2 puntos)

Se sabe que el tiempo dedicado semanalmente a las tareas del hogar se distribuye según una normal con desviación típica 2 horas.

a) Para una muestra aleatoria de 64 hogares, el tiempo medio semanal dedicado a las tareas del hogar es de 10 horas. Determine un intervalo de confianza al 95 % para la media de horas dedicadas semanalmente a las tareas del hogar. (4 puntos)

b) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para que el error que se cometa al estimar la media de la población por un intervalo de confianza sea, como máximo, de 0,75 horas, con un nivel de confianza del 95 %. (4 puntos)

c) A partir de una muestra de 81 hogares se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza $(\mathrm{9,8444};\mathrm{10,7555})$ para la media de la población. Determine el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo. (2 puntos)