Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sean las funciones $g(x)=a{(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}x)}^3$, $h(x)={\displaystyle \frac{x^2+x-2}{x^2-x}}$.

a) Calcule ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }h(x)}$. (3 puntos)

b) Determine el valor de $a\in \mathbb{R}$ para que $f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x)& \text{si }x\le 1\\ h(x)& \text{si }x>1\end{array}$ sea continua en $x=1$, siendo $g(x)$, $h(x)$ las funciones del enunciado. (4 puntos)

c) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^2(1-2x{)}^{3}dx}$. (3 puntos)

Se sustituye directamente para ver de qué tipo es el límite.

${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x^2+x-2}{x^2-x}}={\displaystyle \frac{1+1-2}{1-1}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Es una indeterminación del tipo ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ entre polinomios: se factorizan numerador y denominador para simplificar el factor común.

$x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$

$x^2+x-2=(x-1)(x+2),x^2-x=x(x-1)$

${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)}}={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x+2}{x}}={\displaystyle \frac{1+2}{1}}$

${\lim }_{x\to 1}h(x)=3$

El límite de $h(x)$ cuando $x$ tiende a $1$ vale $3$.



Para que una función definida a trozos sea continua en el punto donde cambia la expresión, deben coincidir los dos límites laterales y el valor de la función:

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$

Se calcula el valor de la función en $x=1$, que viene dado por la primera rama:

$f(1)=g(1)=a{(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1)}^3=a{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{a}{8}}$

El límite por la izquierda coincide con ese valor, porque $g$ es una función polinómica y por tanto continua:

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{a}{8}}$

El límite por la derecha es el que se ha calculado en el apartado anterior:

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1}h(x)=3$

Se impone la igualdad:

${\displaystyle \frac{a}{8}}=3\Rightarrow a=24$

Para $a=24$ la función $f(x)$ es continua en $x=1$.



El integrando es una potencia de una función lineal. Se ajusta la derivada de la base, que vale $-2$:

$\int (1-2x{)}^{3}dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int (-2)(1-2x{)}^{3}dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{(1-2x{)}^4}{4}}=-{\displaystyle \frac{(1-2x{)}^4}{8}}$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_0^2(1-2x{)}^{3}dx={[-{\displaystyle \frac{(1-2x{)}^4}{8}}]}_0^2=-{\displaystyle \frac{(1-4{)}^4}{8}}+{\displaystyle \frac{(1-0{)}^4}{8}}$

$=-{\displaystyle \frac{(-3{)}^4}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}=-{\displaystyle \frac{81}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}=-{\displaystyle \frac{80}{8}}$

${\int }_0^2(1-2x{)}^{3}dx=-10$

El valor de la integral definida es $-10$. Es negativo porque en casi todo el intervalo de integración la función toma valores negativos.