Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Realice las siguientes tareas a partir de esta función. [4 puntos]

Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-4{)}^2-4& \text{si }x\le 6\\ 16-(x-10{)}^2& \text{si }x>6\end{array}$

a) Estudie la continuidad de la función $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función $f(x)$ con los ejes coordenados y realice un esbozo de la misma. [1 punto]

c) Calcule el área del recinto delimitado por la curva $f(x)$ y el eje de abscisas OX en el intervalo $[2,6]$. [1,5 puntos]

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas en todo $\mathbb{R}$, de modo que el único punto donde puede fallar la continuidad es $x=6$, donde cambia la definición. Se comprueban allí las tres condiciones de continuidad.

$f(6)=(6-4{)}^2-4=2^2-4=0$

${\lim }_{x\to 6^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 6^{-}}[(x-4{)}^2-4]=0$

${\lim }_{x\to 6^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 6^{+}}[16-(x-10{)}^2]=16-(-4{)}^2=16-16=0$

Los dos límites laterales existen, son finitos y coinciden entre sí y con el valor de la función:

${\lim }_{x\to 6^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 6^{+}}f(x)=f(6)=0$

La función es continua en $x=6$ y, por tanto, es continua en todo $\mathbb{R}$.



El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$, que pertenece al primer trozo.

$f(0)=(0-4{)}^2-4=16-4=12\Rightarrow (0,12)$

Para los cortes con el eje OX se anula cada trozo dentro de su intervalo de definición.

$(x-4{)}^2-4=0\Rightarrow (x-4{)}^2=4\Rightarrow x-4=\pm 2\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=6\\ x=2\end{array}$

Los dos cumplen $x\le 6$, así que los dos valen.

$16-(x-10{)}^2=0\Rightarrow (x-10{)}^2=16\Rightarrow x-10=\pm 4\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=14\\ x=6\end{array}$

Aquí solo vale $x=14$, porque el otro no cumple $x>6$.

Para el esbozo basta observar que el primer trozo es una parábola de ramas hacia arriba con vértice en $(4,-4)$ y el segundo una parábola de ramas hacia abajo con vértice en $(10,16)$, y que las dos se pegan en el punto $(6,0)$.

La gráfica corta al eje OY en $(0,12)$ y al eje OX en $(2,0)$, $(6,0)$ y $(14,0)$.





Todo el intervalo $[2,6]$ queda dentro del primer trozo, así que la función que hay que integrar es $f(x)=(x-4{)}^2-4$. Sus dos raíces son precisamente $x=2$ y $x=6$, y entre ellas la parábola queda por debajo del eje, como confirma su vértice $(4,-4)$. La integral saldrá negativa y el área es su valor absoluto.

$A=\mid {\int }_2^6[(x-4{)}^2-4]dx\mid$

$\int [(x-4{)}^2-4]dx={\displaystyle \frac{(x-4{)}^3}{3}}-4x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

${\int }_2^6[(x-4{)}^2-4]dx={[{\displaystyle \frac{(x-4{)}^3}{3}}-4x]}_2^6$

$=({\displaystyle \frac{2^3}{3}}-24)-({\displaystyle \frac{(-2{)}^3}{3}}-8)=({\displaystyle \frac{8}{3}}-24)-(-{\displaystyle \frac{8}{3}}-8)$

$={\displaystyle \frac{8}{3}}-24+{\displaystyle \frac{8}{3}}+8={\displaystyle \frac{16}{3}}-16=-{\displaystyle \frac{32}{3}}$

$A=\mid -{\displaystyle \frac{32}{3}}\mid ={\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}{\text{u}}^2$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}$ unidades de área.