Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Siendo $a,b$ parámetros reales, se considera la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2\sqrt{3}& \text{si }x\le 0\\ \sqrt{ax+b}& \text{si }0<x\le 3\\ {\displaystyle \frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{6}}& \text{si }x>3\end{array}$

a) Determine el valor de los parámetros para que $f(x)$ sea continua. (3 puntos)

b) Para dichos valores, analice si $f(x)$ es derivable en $x=0$ y en $x=3$. (4 puntos)

c) Calcule el valor máximo y mínimo de $f(x)$ si $x\in [6,9]$ y las coordenadas de los puntos donde se alcanzan dichos valores. (3 puntos)

Cada una de las tres ramas es continua en su tramo: la primera es un polinomio, la tercera es una recta y la segunda es una raíz cuyo radicando habrá que comprobar. Solo hay que imponer la continuidad en los dos puntos donde cambia la definición.

Continuidad en $x=0$:

$f(0)=0^2+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}\sqrt{ax+b}=\sqrt{b}$

$\sqrt{b}=2\sqrt{3}\Rightarrow b=4\cdot 3=12$

Continuidad en $x=3$:

${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=\sqrt{3a+b}=\sqrt{3a+12}$

${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=3$

$\sqrt{3a+12}=3\Rightarrow 3a+12=9\Rightarrow 3a=-3\Rightarrow a=-1$

Se comprueba que el radicando es positivo en todo el tramo $(0,3]$: $-x+12>0$ para todo $x\le 3$, así que la raíz está bien definida.

Para $a=-1$ y $b=12$ la función $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$.



Con los valores obtenidos la función queda

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2\sqrt{3}& \text{si }x\le 0\\ \sqrt{12-x}& \text{si }0<x\le 3\\ {\displaystyle \frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{6}}& \text{si }x>3\end{array}$

Se deriva cada rama:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2x& \text{si }x<0\\ {\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{12-x}}}& \text{si }0<x<3\\ -{\displaystyle \frac{1}{6}}& \text{si }x>3\end{array}$

En $x=0$ se comparan las derivadas laterales:

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})=2\cdot 0=0$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})={\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{12}}}={\displaystyle \frac{-1}{4\sqrt{3}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{12}}\approx -\mathrm{0,1443}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})\mathrm{\ne }{f}^{\mathrm{\prime }}(0^{+})$

La función no es derivable en $x=0$: presenta ahí un punto anguloso.

En $x=3$ se comparan de nuevo las derivadas laterales:

$f^{\mathrm{\prime }}(3^{-})={\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{12-3}}}={\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{9}}}={\displaystyle \frac{-1}{6}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(3^{+})=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(3^{-})=f^{\mathrm{\prime }}(3^{+})=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

Como además la función es continua en $x=3$, sí es derivable en ese punto y $f^{\mathrm{\prime }}(3)=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$.

La función es derivable en $x=3$ pero no lo es en $x=0$.



Todo el intervalo $[6,9]$ está contenido en el tramo $x>3$, donde la función es la recta

$f(x)={\displaystyle \frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{6}}$

Su derivada es constante:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{6}}<0$

La derivada no se anula nunca, así que no hay puntos críticos y la función es estrictamente decreciente en todo el intervalo. Por ser continua en un intervalo cerrado, alcanza sus valores extremos en los bordes.

$f(6)={\displaystyle \frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{6}{6}}={\displaystyle \frac{7}{2}}-1={\displaystyle \frac{5}{2}}=\mathrm{2,5}$

$f(9)={\displaystyle \frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{9}{6}}={\displaystyle \frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}=2$

El valor máximo es $\mathrm{2,5}$ y se alcanza en el punto $(6;\mathrm{2,5})$; el valor mínimo es $2$ y se alcanza en el punto $(9,2)$.