Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+2& \text{si }x\le -1\\ x^2-3x+5& \text{si }-1<x\le 3\\ {\displaystyle \frac{x-b}{x^2+1}}& \text{si }x>3\end{array}$: [2,5 puntos]

a) Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales la función es continua en todo su dominio. [1,5 puntos]

b) Calcule la integral definida $I={\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)dx}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los tres trozos son funciones continuas en su intervalo: los dos primeros son polinómicas y el tercero un cociente cuyo denominador $x^2+1$ no se anula nunca. Los únicos puntos donde puede fallar la continuidad son $x=-1$ y $x=3$, donde cambia la definición.

Se impone la continuidad en $x=-1$ igualando los dos límites laterales.

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=a(-1)+2=-a+2$

${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=(-1{)}^2-3(-1)+5=1+3+5=9$

$-a+2=9\Rightarrow a=-7$

Se impone ahora la continuidad en $x=3$.

${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=3^2-3\cdot 3+5=9-9+5=5$

${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{3-b}{3^2+1}}={\displaystyle \frac{3-b}{10}}$

${\displaystyle \frac{3-b}{10}}=5\Rightarrow 3-b=50\Rightarrow b=-47$

La función es continua en todo su dominio para $a=-7$ y $b=-47$.



Todo el intervalo de integración $[0,2]$ está contenido en $-1<x\le 3$, de modo que en él la función vale $f(x)=x^2-3x+5$ y no hace falta partir la integral.

$I={\int }_0^2(x^2-3x+5)dx$

$\int (x^2-3x+5)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+5x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$I={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+5x]}_0^2=({\displaystyle \frac{8}{3}}-6+10)-0$

$I={\displaystyle \frac{8}{3}}+4={\displaystyle \frac{8+12}{3}}={\displaystyle \frac{20}{3}}$

El valor de la integral definida es $I={\displaystyle \frac{20}{3}}\approx \mathrm{6,67}$.