Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

a) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+5x+6}}$: [1,25 puntos]

1) ¿En qué puntos es discontinua? [0,25 puntos]

2) ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? [0,5 puntos]

3) Calcule los dos límites laterales en $x=-3$. Interprete gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor. [0,5 puntos]

b) Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+2x-1& \text{si }x\le -1\\ x^2-5& \text{si }-1<x\le 3\\ {\displaystyle \frac{b+x}{3x-2}}& \text{si }x>3\end{array}$, determine los valores de $a$ y $b$ para los que la función es continua en $x=-1$ y en $x=3$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{1)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{discontinua?}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es un cociente de polinomios, de modo que solo puede ser discontinua donde se anula el denominador.

$x^2+5x+6=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}}={\displaystyle \frac{-5\pm 1}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-2\\ x=-3\end{array}$

La función es discontinua en $x=-2$ y en $x=-3$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{2)}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{definir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{evitar}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{discontinuidad?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se factorizan numerador y denominador.

$f(x)={\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+5x+6}}={\displaystyle \frac{2(x+2)}{(x+2)(x+3)}}$

En $x=-2$ el factor $(x+2)$ se cancela, así que el límite existe y es finito.

${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}{\displaystyle \frac{2}{x+3}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2$

La discontinuidad de $x=-2$ es evitable y sí se puede eliminar redefiniendo la función en ese punto:

$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{si }x\mathrm{\ne }-2\\ 2& \text{si }x=-2\end{array}$

En $x=-3$ el numerador de la expresión simplificada no se anula, de modo que el límite es infinito y la discontinuidad es inevitable.



Se trabaja con la expresión simplificada, válida en todo un entorno de $x=-3$.

${\lim }_{x\to -3^{-}}{\displaystyle \frac{2}{x+3}}={\displaystyle \frac{2}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to -3^{+}}{\displaystyle \frac{2}{x+3}}={\displaystyle \frac{2}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

Los dos límites laterales son infinitos y de signo contrario, de modo que la recta $x=-3$ es una asíntota vertical: al acercarse a $-3$ por la izquierda la curva se desploma hacia $-\mathrm{\infty }$ y al acercarse por la derecha se dispara hacia $+\mathrm{\infty }$, sin llegar a cortar nunca esa recta.





Cada trozo es continuo en el interior de su intervalo, así que basta igualar los límites laterales en los dos puntos de cambio.

En $x=-1$:

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=a(-1{)}^2+2(-1)-1=a-3$

${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=(-1{)}^2-5=-4$

$a-3=-4\Rightarrow a=-1$

En $x=3$:

${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=3^2-5=4$

${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{b+3}{3\cdot 3-2}}={\displaystyle \frac{b+3}{7}}$

${\displaystyle \frac{b+3}{7}}=4\Rightarrow b+3=28\Rightarrow b=25$

La función es continua en $x=-1$ y en $x=3$ para $a=-1$ y $b=25$.