Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+2x-24}{x^2+2x-8}}$: [2,5 puntos]

a) ¿En qué puntos es discontinua $f$? ¿De qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso? [1 punto]

b) ¿Se podría redefinir $f$ para evitar alguna de estas discontinuidades? [0,25 puntos]

c) ¿Cuáles son las asíntotas de $f$? [0,75 puntos]

d) Esboce la gráfica de $f$, indicando únicamente los puntos de discontinuidad, las asíntotas y los cortes con los ejes OX y OY. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{discontinua}}\mathit{f}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{¿De}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{discontinuidad}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{trata}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caso?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La función es un cociente de polinomios, de modo que solo puede ser discontinua donde se anula el denominador.

$x^2+2x-8=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 6}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ x=-4\end{array}$

Se factorizan numerador y denominador para ver qué ocurre en cada uno.

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+2x-24}{x^2+2x-8}}={\displaystyle \frac{2(x-3)(x+4)}{(x-2)(x+4)}}$

En $x=-4$ el factor $(x+4)$ se cancela, así que se calcula el límite.

${\lim }_{x\to -4}f(x)={\lim }_{x\to -4}{\displaystyle \frac{2(x-3)}{x-2}}={\displaystyle \frac{2(-7)}{-6}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$

El límite existe y es finito, pero la función no está definida ahí: la discontinuidad en $x=-4$ es evitable.

En $x=2$ el numerador no se anula, de modo que se estudian los límites laterales.

${\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{2(x-3)}{x-2}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to 2^{+}}{\displaystyle \frac{2(x-3)}{x-2}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }$

La discontinuidad en $x=2$ es de salto infinito, es decir, inevitable.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{redefinir}}\mathit{f}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{evitar}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{discontinuidades?}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sí, la de $x=-4$, porque allí el límite existe y es finito. Basta definir la función en ese punto con el valor del límite:

$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{si }x\mathrm{\ne }-4\\ {\displaystyle \frac{7}{3}}& \text{si }x=-4\end{array}$

La discontinuidad de $x=2$ no se puede evitar, porque allí los límites laterales son infinitos y no coinciden.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Asíntota vertical: solo la hay donde el límite es infinito, es decir, en $x=2$.

${\lim }_{x\to 2}f(x)=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=2\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

En $x=-4$ no hay asíntota, porque allí el límite es finito.

Asíntota horizontal: numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2+2x-24}{x^2+2x-8}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2$

La recta $y=2$ es asíntota horizontal, y por existir esta no hay asíntota oblicua.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Esboce}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{indicando}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nicamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{discontinuidad,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cortes}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{OY.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calculan primero los cortes con los ejes. El corte con OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)={\displaystyle \frac{-24}{-8}}=3\Rightarrow (0,3)$

Para el corte con OX se anula el numerador de la expresión simplificada, descartando la raíz que no pertenece al dominio.

$2(x-3)=0\Rightarrow x=3\Rightarrow (3,0)$

Fuera de $x=-4$ la función coincide con ${\displaystyle \frac{2(x-3)}{x-2}}$, que es una hipérbola de asíntotas $x=2$ e $y=2$. En $x=-4$ la gráfica presenta un hueco, marcado con un círculo blanco, en el punto $(-4,{\displaystyle \frac{7}{3}})$.