Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{3x-15}{4x^2+4x-120}}$: [2,5 puntos]

a) ¿En qué puntos es discontinua? [0,5 puntos]

b) ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? Justifique la respuesta. [1 punto]

c) Calcule los dos límites laterales en $x=-6$. Interprete gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{discontinua?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es un cociente de polinomios, de modo que solo puede ser discontinua donde se anula el denominador.

$4x^2+4x-120=0\Rightarrow x^2+x-30=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+120}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 11}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=5\\ x=-6\end{array}$

La función es discontinua en $x=5$ y en $x=-6$, que son los dos únicos puntos que no pertenecen a su dominio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{definir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{evitar}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{discontinuidad?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se factorizan numerador y denominador para ver qué ocurre en cada punto.

$f(x)={\displaystyle \frac{3x-15}{4x^2+4x-120}}={\displaystyle \frac{3(x-5)}{4(x-5)(x+6)}}$

En $x=5$ el factor $(x-5)$ se cancela, así que el límite existe y es finito.

${\lim }_{x\to 5}f(x)={\lim }_{x\to 5}{\displaystyle \frac{3}{4(x+6)}}={\displaystyle \frac{3}{44}}$

La discontinuidad de $x=5$ es evitable y sí se puede eliminar redefiniendo la función en ese punto:

$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{si }x\mathrm{\ne }5\\ {\displaystyle \frac{3}{44}}& \text{si }x=5\end{array}$

En $x=-6$ el numerador de la expresión simplificada no se anula, de modo que el límite es infinito y la discontinuidad es inevitable: por mucho que se defina un valor allí, la función nunca será continua.



Se trabaja con la expresión simplificada, válida en todo un entorno de $x=-6$.

${\lim }_{x\to -6^{-}}{\displaystyle \frac{3}{4(x+6)}}={\displaystyle \frac{3}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to -6^{+}}{\displaystyle \frac{3}{4(x+6)}}={\displaystyle \frac{3}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

Los dos límites laterales son infinitos y de signo contrario, de modo que la recta $x=-6$ es una asíntota vertical de la gráfica: al acercarse a $-6$ por la izquierda la curva se desploma hacia $-\mathrm{\infty }$, y al acercarse por la derecha se dispara hacia $+\mathrm{\infty }$, sin llegar a tocar nunca la recta.