Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

a) ¿Cuáles son las asíntotas (horizontales, verticales y/u oblicuas) de la siguiente función? [1,25 puntos]

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^2-1}{x-1}}$

b) Dada la siguiente función definida a trozos: [1,25 puntos]

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\ln (x)}{x-1}}& \text{si }\mathrm{0,5}\le x<1\\ a{x}^2+b& \text{si }1\le x\le 2\\ e^x+1& \text{si }2<x\le \mathrm{2,5}\end{array}$

determine los parámetros $a$ y $b$ para que $f$ sea continua en el intervalo $[\mathrm{0,5},\mathrm{2,5}]$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{(horizontales,}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y/u}}\mathbf{\text{oblicuas)}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^2-1}{x-1}}$

Asíntotas verticales: se buscan en los puntos que anulan el denominador y no el numerador.

$x-1=0\Rightarrow x=1,2\cdot 1^2-1=1\mathrm{\ne }0$

${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{2x^2-1}{x-1}}={\displaystyle \frac{1}{0}}=\mathrm{\infty }$

La recta $x=1$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal: no hay, porque el grado del numerador es mayor que el del denominador.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2-1}{x-1}}=\pm \mathrm{\infty }$

Asíntota oblicua: existe precisamente porque el numerador supera al denominador en un grado. Se obtiene efectuando la división.

$2x^2-1=(x-1)(2x+2)+1$

$f(x)=2x+2+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$

Como el resto tiende a cero cuando $x\to \pm \mathrm{\infty }$, la recta $y=2x+2$ es asíntota oblicua.

La función tiene una asíntota vertical, $x=1$, y una asíntota oblicua, $y=2x+2$; no tiene asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dada}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{definida}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{trozos,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathit{f}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">0,5</mn><mo\; separator="true">,</mo><mtext> </mtext><mn\; mathvariant="bold">2,5</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\ln x}{x-1}}& \text{si }\mathrm{0,5}\le x<1\\ a{x}^2+b& \text{si }1\le x\le 2\\ e^x+1& \text{si }2<x\le \mathrm{2,5}\end{array}$

Cada trozo es continuo en el interior de su intervalo, de modo que la continuidad solo puede fallar en $x=1$ y en $x=2$, donde cambia la definición. Se impone en cada uno la igualdad de los límites laterales.

En $x=1$ el límite por la izquierda es una indeterminación ${\displaystyle \frac{0}{0}}$, que se resuelve por la regla de L'Hôpital.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{\ln x}{x-1}}={\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1}}=1$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=a\cdot 1^2+b=a+b$

$a+b=1$

En $x=2$:

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=a\cdot 2^2+b=4a+b$

${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=e^2+1$

$4a+b=e^2+1$

Se resuelve el sistema restando la primera ecuación de la segunda.

$3a=e^2\Rightarrow a={\displaystyle \frac{e^2}{3}}\approx \mathrm{2,463}$

$b=1-a=1-{\displaystyle \frac{e^2}{3}}\approx -\mathrm{1,463}$

La función es continua en $[\mathrm{0,5};\mathrm{2,5}]$ para $a={\displaystyle \frac{e^2}{3}}$ y $b=1-{\displaystyle \frac{e^2}{3}}$.