Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2-1}}$: [2,5 puntos]

a) ¿En qué puntos es discontinua $f(x)$? ¿De qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso? [0,75 puntos]

b) Identifique las asíntotas de la función. [1,25 puntos]

c) Esboce la gráfica de $f(x)$, indicando únicamente los puntos de discontinuidad, las asíntotas y los cortes con los ejes OX y OY. [0,5 puntos]

La función es un cociente de polinomios, de modo que solo puede ser discontinua donde se anula el denominador.

$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$

Se factorizan numerador y denominador para ver qué ocurre en cada uno.

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)}}$

En $x=-1$ el factor $(x+1)$ se cancela, así que se calcula el límite.

${\lim }_{x\to -1}f(x)={\lim }_{x\to -1}{\displaystyle \frac{x-3}{x-1}}={\displaystyle \frac{-4}{-2}}=2$

El límite existe y es finito, pero la función no está definida en ese punto: la discontinuidad en $x=-1$ es evitable.

En $x=1$ el numerador no se anula, de modo que se estudian los límites laterales.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{x-3}{x-1}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{x-3}{x-1}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }$

La discontinuidad en $x=1$ es de salto infinito, es decir, inevitable de segunda especie.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Identifique}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Asíntota vertical: solo puede darse donde el límite es infinito, y por el apartado anterior eso ocurre únicamente en $x=1$.

${\lim }_{x\to 1}f(x)=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

En $x=-1$ no hay asíntota, porque allí el límite es finito.

Asíntota horizontal: numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

La recta $y=1$ es asíntota horizontal, y por existir esta no hay asíntota oblicua.

La función tiene una asíntota vertical, $x=1$, y una asíntota horizontal, $y=1$.



Se calculan primero los cortes con los ejes. El corte con OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)={\displaystyle \frac{-3}{-1}}=3\Rightarrow (0,3)$

Para el corte con OX se anula el numerador de la expresión simplificada.

$x-3=0\Rightarrow x=3\Rightarrow (3,0)$

Fuera de $x=-1$ la función coincide con ${\displaystyle \frac{x-3}{x-1}}$, que es una hipérbola de asíntotas $x=1$ e $y=1$. En $x=-1$ la gráfica presenta un hueco, marcado con un círculo blanco, en el punto $(-1,2)$.