Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un comerciante dispone de 120 jamones, 390 botellas de vino y 240 botellas de cava para elaborar dos tipos de lotes navideños. El lote $(A)$ consta de un jamón y dos botellas de vino y el lote $(B)$ consta de un jamón, cinco botellas de vino y cuatro botellas de cava. Si el ingreso por la venta de cada lote $(A)$ es de 90 € y por cada lote $(B)$ es de 180 €, se pide:

a) Plantee y resuelva un problema de programación lineal que permita calcular el número de lotes de cada tipo que maximiza el ingreso obtenido. ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo? (8 puntos)

b) En la solución óptima, ¿se agotan todas las existencias de jamones, botellas de vino y botellas de cava? Razone la respuesta. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resuelva}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lotes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{maximiza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{obtenido.}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}(8\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de lotes del tipo $(A)$ e $y$ al número de lotes del tipo $(B)$.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Jamones}$	$\text{Botellas de vino}$	$\text{Botellas de cava}$	$\text{Ingreso}$
Lotes A (x)	x	2x	0	90x
Lotes B (y)	y	5y	4y	180y
Totales	x+y	2x+5y	4y	90x+180y
Disponible	120	390	240

La función objetivo que se desea maximizar es el ingreso: $I(x,y)=90x+180y$.

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 120 jamones $\Rightarrow$ $x+y\le 120$.

Se dispone de 390 botellas de vino $\Rightarrow$ $2x+5y\le 390$.

Se dispone de 240 botellas de cava $\Rightarrow$ $4y\le 240$, es decir, $y\le 60$.

El número de lotes no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y\le 120\\ 2x+5y\le 390\\ y\le 60\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Se representan las rectas que delimitan la región factible. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $O$: es el origen, $O(0,0)$.

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}y=60\\ x=0\end{array}\Rightarrow B(0,60)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}2x+5y=390\\ y=60\end{array}\Rightarrow 2x+300=390\Rightarrow x=45\Rightarrow C(45,60)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x+y=120\\ 2x+5y=390\end{array}$

De la primera ecuación, $x=120-y$. Se sustituye en la segunda:

$2(120-y)+5y=390\Rightarrow 240+3y=390\Rightarrow y=50\Rightarrow x=70\Rightarrow D(70,50)$

Vértice $E$:

$\{\begin{array}{l}x+y=120\\ y=0\end{array}\Rightarrow E(120,0)$

Se valora la función ingreso $I(x,y)=90x+180y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$O(0,0)\Rightarrow I(0,0)=0$

$B(0,60)\Rightarrow I(0,60)=180\cdot 60=10800$

$C(45,60)\Rightarrow I(45,60)=4050+10800=14850$

$D(70,50)\Rightarrow I(70,50)=6300+9000=15300$

$E(120,0)\Rightarrow I(120,0)=90\cdot 120=10800$

El ingreso máximo se produce en el vértice $D(70,50)$.

Deben elaborarse 70 lotes del tipo $(A)$ y 50 lotes del tipo $(B)$, con lo que el ingreso máximo asciende a $15300\text{ €}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptima,}}\mathbf{\text{¿se}}\mathbf{\text{agotan}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{existencias}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{jamones,}}\mathbf{\text{botellas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{botellas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cava?}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}(2\text{ puntos})$

Basta sustituir la solución óptima $(70,50)$ en cada una de las tres restricciones y compararla con las existencias disponibles.

Jamones:

$x+y=70+50=120$

Botellas de vino:

$2x+5y=2\cdot 70+5\cdot 50=140+250=390$

Botellas de cava:

$4y=4\cdot 50=200$

Las dos primeras restricciones se cumplen con igualdad —de hecho, el vértice óptimo es precisamente el corte de esas dos rectas—, mientras que la del cava se cumple de forma estricta, $200<240$.

Se agotan los 120 jamones y las 390 botellas de vino, pero no las de cava: sobran $240-200=40$ botellas de cava.