Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

El nutricionista de una fábrica de piensos aconseja a los granjeros dedicados a la cría de cerdos una ingesta de, al menos, 28 unidades de proteína y, al menos, 36 unidades de grasa vegetal. El nutricionista sabe que cada kilo de soja proporciona 5 unidades de proteína y 3 unidades de grasa y cada kilo de maíz proporciona 1 unidad de proteína y 3 unidades de grasa. Los precios del kilo de soja y maíz son 3 € y 2 €, respectivamente, y el granjero dispone de un presupuesto de 60 €.

a) Plantea y resuelve un problema de programación lineal que permita calcular la cantidad de soja y maíz que deben consumir los cerdos de manera que se minimice el coste de la alimentación. Obtén dicho valor mínimo. (8 puntos)

b) Si el granjero pensara que la dieta más cara es la mejor, ¿sería una solución óptima adquirir 12 kg de soja y 15 kg de maíz? (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resuelve}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soja}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ma}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{z}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{consumir}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cerdos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{manera}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{minimice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{alimentaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Obt}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}(8\text{ puntos})$

Se llama $x$ a los kilos de soja e $y$ a los kilos de maíz que se dan a los cerdos.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Prote}\acute{\text{ı}}\text{na}$	$\text{Grasa vegetal}$	$\text{Coste (€)}$
Kilos de soja (x)	5x	3x	3x
Kilos de maíz (y)	y	3y	2y
Totales	5x+y	3x+3y	3x+2y

La función objetivo que se desea minimizar es el coste: $C(x,y)=3x+2y$.

Las restricciones del problema son:

Hacen falta al menos 28 unidades de proteína $\Rightarrow$ $5x+y\ge 28$.

Hacen falta al menos 36 unidades de grasa vegetal $\Rightarrow$ $3x+3y\ge 36$, que simplificando entre $3$ queda $x+y\ge 12$.

El presupuesto es de 60 € $\Rightarrow$ $3x+2y\le 60$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}5x+y\ge 28\\ x+y\ge 12\\ 3x+2y\le 60\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Se representan las rectas que delimitan la región factible. La región factible es la zona coloreada en azul: las dos restricciones de mínimos la acotan por abajo y a la izquierda, y el presupuesto la cierra por arriba y a la derecha.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}5x+y=28\\ x=0\end{array}\Rightarrow A(0,28)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}5x+y=28\\ x+y=12\end{array}$

Restando la segunda de la primera:

$4x=16\Rightarrow x=4\Rightarrow 4+y=12\Rightarrow y=8\Rightarrow B(4,8)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ y=0\end{array}\Rightarrow C(12,0)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=60\\ y=0\end{array}\Rightarrow 3x=60\Rightarrow x=20\Rightarrow D(20,0)$

Vértice $E$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=60\\ x=0\end{array}\Rightarrow 2y=60\Rightarrow y=30\Rightarrow E(0,30)$

Se valora la función coste $C(x,y)=3x+2y$ en cada uno de los vértices en busca del mínimo.

$A(0,28)\Rightarrow C(0,28)=56$

$B(4,8)\Rightarrow C(4,8)=12+16=28$

$C(12,0)\Rightarrow C(12,0)=36$

$D(20,0)\Rightarrow C(20,0)=60$

$E(0,30)\Rightarrow C(0,30)=60$

El coste mínimo se produce en el vértice $B(4,8)$. Se comprueba que en ese punto se cubren las dos necesidades:

$\{\begin{array}{l}\text{Prote}\acute{\text{ı}}\text{na: }5\cdot 4+8=28\\ \text{Grasa: }3\cdot 4+3\cdot 8=36\end{array}$

Los cerdos deben consumir 4 kg de soja y 8 kg de maíz, con un coste mínimo de $28\text{ €}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{granjero}}\mathbf{\text{pensara}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{dieta}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mejor,}}\mathbf{\text{¿ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptima}}\mathbf{\text{adquirir}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soja}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ma}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{z?}}(2\text{ puntos})$

Antes de comparar costes hay que comprobar si el punto $(12,15)$ pertenece siquiera a la región factible.

Proteína:

$5\cdot 12+15=75\ge 28$

Grasa vegetal:

$3\cdot 12+3\cdot 15=81\ge 36$

Presupuesto:

$3\cdot 12+2\cdot 15=36+30=66>60$

La tercera restricción no se cumple: esa compra costaría 66 €, seis euros más de los 60 € de los que dispone el granjero.

No sería una solución óptima, y ni siquiera es una solución posible: el punto $(12,15)$ queda fuera de la región factible porque supera el presupuesto. La dieta más cara que el granjero puede permitirse cuesta $60\text{ €}$ y se alcanza en los vértices $D(20,0)$ y $E(0,30)$, y en todo el segmento que los une.