Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Emilia quiere fertilizar sus campos de cultivo utilizando sacos de fertilizantes de dos marcas comerciales, $A$ y $B$. Por cuestiones medioambientales debe comprar como máximo 100 sacos. Un saco del fertilizante $A$ cuesta 4 € y uno del $B$ cuesta 6 €. Un saco del fertilizante $A$ contiene 3 unidades de nitrógeno, 5 de fósforo y 1 de potasio, mientras que un saco del $B$ contiene 2 unidades de cada nutriente. Los terrenos estarán bien fertilizados con al menos 180 unidades de nitrógeno, al menos 200 de fósforo y, al menos, 80 de potasio. ¿Cuál es el gasto mínimo que tiene que hacer Emilia y qué debe comprar para satisfacer las necesidades nutricionales de los cultivos? (10 puntos)

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{Emilia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{satisfacer}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{necesidades}}\mathbf{\text{nutricionales}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cultivos?}}(10\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de sacos del fertilizante $A$ e $y$ al número de sacos del fertilizante $B$.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Nitr}\acute{\text{o}}\text{geno}$	$\text{F}\acute{\text{o}}\text{sforo}$	$\text{Potasio}$	$\text{Coste}$
Sacos de A (x)	3x	5x	x	4x
Sacos de B (y)	2y	2y	2y	6y
Totales	3x+2y	5x+2y	x+2y	4x+6y
Necesario	180	200	80

La función objetivo que se desea minimizar es el gasto: $C(x,y)=4x+6y$.

Las restricciones del problema son:

Como máximo puede comprar 100 sacos $\Rightarrow$ $x+y\le 100$.

Hacen falta al menos 180 unidades de nitrógeno $\Rightarrow$ $3x+2y\ge 180$.

Hacen falta al menos 200 unidades de fósforo $\Rightarrow$ $5x+2y\ge 200$.

Hacen falta al menos 80 unidades de potasio $\Rightarrow$ $x+2y\ge 80$.

El número de sacos no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y\le 100\\ 3x+2y\ge 180\\ 5x+2y\ge 200\\ x+2y\ge 80\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Se representan las rectas que delimitan la región factible. La región factible es la zona coloreada en azul: las tres restricciones de mínimos la acotan por abajo y a la izquierda, y la de los 100 sacos la cierra por arriba y a la derecha.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x+y=100\\ x=0\end{array}\Rightarrow A(0,100)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=180\\ 5x+2y=200\end{array}$

Restando la primera de la segunda:

$2x=20\Rightarrow x=10\Rightarrow 3\cdot 10+2y=180\Rightarrow y=75\Rightarrow B(10,75)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=180\\ x+2y=80\end{array}$

Restando la segunda de la primera:

$2x=100\Rightarrow x=50\Rightarrow 50+2y=80\Rightarrow y=15\Rightarrow C(50,15)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=80\\ y=0\end{array}\Rightarrow D(80,0)$

Vértice $E$:

$\{\begin{array}{l}x+y=100\\ y=0\end{array}\Rightarrow E(100,0)$

Conviene señalar que el corte de las rectas $5x+2y=200$ y $x+2y=80$ es el punto $(30,25)$, que no es vértice de la región factible porque no cumple la restricción del nitrógeno:

$3\cdot 30+2\cdot 25=140<180$

Se valora la función coste $C(x,y)=4x+6y$ en cada uno de los vértices en busca del mínimo.

$A(0,100)\Rightarrow C(0,100)=600$

$B(10,75)\Rightarrow C(10,75)=40+450=490$

$C(50,15)\Rightarrow C(50,15)=200+90=290$

$D(80,0)\Rightarrow C(80,0)=320$

$E(100,0)\Rightarrow C(100,0)=400$

El gasto mínimo se produce en el vértice $C(50,15)$. Se comprueba que en ese punto se cubren las tres necesidades:

$\{\begin{array}{l}\text{Nitr}\acute{\text{o}}\text{geno: }3\cdot 50+2\cdot 15=180\\ \text{F}\acute{\text{o}}\text{sforo: }5\cdot 50+2\cdot 15=280\ge 200\\ \text{Potasio: }50+2\cdot 15=80\end{array}$

Emilia debe comprar 50 sacos del fertilizante $A$ y 15 sacos del fertilizante $B$, con un gasto mínimo de $290\text{ €}$.