Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa de transportes valora la apertura de sucursales rurales y/o urbanas. Las sucursales rurales emplean a tres personas, requieren de una inversión de 100.000 euros para su apertura y generan unos ingresos de 15.000 euros al mes. Las sucursales urbanas emplean a 6 personas, requieren de 150.000 euros de inversión y generan un ingreso de 18.000 euros al mes. La empresa de transportes tiene hasta tres millones de euros disponibles para abrir nuevas sucursales, han decidido limitar el número de nuevas sucursales a 25 y se han comprometido a crear como mínimo 60 empleos.

a) Plantee un problema de programación lineal que permita calcular el número de sucursales de cada tipo que deben abrirse para maximizar el ingreso mensual. (3 puntos)

b) Resuelva el problema anterior y calcule el ingreso mensual máximo que se obtendría. (5 puntos)

c) En la solución óptima, ¿cuántos empleos generará?, ¿se gasta todo el dinero disponible? (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sucursales}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{abrirse}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{mensual.}}(3\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de sucursales rurales que se abren e $y$ al número de sucursales urbanas.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Empleos}$	$\text{Inversi}\acute{\text{o}}\text{n (€)}$	$\text{Ingreso mensual (€)}$
Sucursales rurales (x)	3x	100000x	15000x
Sucursales urbanas (y)	6y	150000y	18000y
Totales	3x+6y	100000x+150000y	15000x+18000y

La función objetivo que se desea maximizar es el ingreso mensual: $I(x,y)=15000x+18000y$.

Las restricciones del problema son:

Se dispone de tres millones de euros $\Rightarrow$ $100000x+150000y\le 3000000$, que simplificando entre $50000$ queda $2x+3y\le 60$.

Se limita el número de nuevas sucursales a 25 $\Rightarrow$ $x+y\le 25$.

Hay que crear como mínimo 60 empleos $\Rightarrow$ $3x+6y\ge 60$, que simplificando entre $3$ queda $x+2y\ge 20$.

El número de sucursales no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

El problema de programación lineal queda planteado así:

$\max I(x,y)=15000x+18000y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}2x+3y\le 60\\ x+y\le 25\\ x+2y\ge 20\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{mensual}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}(5\text{ puntos})$

Se representan las rectas que delimitan la región factible. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=20\\ y=0\end{array}\Rightarrow A(20,0)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x+y=25\\ y=0\end{array}\Rightarrow B(25,0)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=60\\ x+y=25\end{array}$

De la segunda ecuación, $y=25-x$. Se sustituye en la primera:

$2x+3(25-x)=60\Rightarrow 2x+75-3x=60\Rightarrow -x=-15\Rightarrow x=15\Rightarrow y=10\Rightarrow C(15,10)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=60\\ x=0\end{array}\Rightarrow 3y=60\Rightarrow y=20\Rightarrow D(0,20)$

Vértice $E$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=20\\ x=0\end{array}\Rightarrow 2y=20\Rightarrow y=10\Rightarrow E(0,10)$

Se valora la función ingreso $I(x,y)=15000x+18000y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo.

$A(20,0)\Rightarrow I(20,0)=300000$

$B(25,0)\Rightarrow I(25,0)=375000$

$C(15,10)\Rightarrow I(15,10)=225000+180000=405000$

$D(0,20)\Rightarrow I(0,20)=360000$

$E(0,10)\Rightarrow I(0,10)=180000$

El ingreso mensual máximo se produce en el vértice $C(15,10)$.

Deben abrirse 15 sucursales rurales y 10 sucursales urbanas, con lo que el ingreso mensual máximo asciende a $405000\text{ €}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptima,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{empleos}}\mathbf{\text{generar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{?,}}\mathbf{\text{¿se}}\mathbf{\text{gasta}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dinero}}\mathbf{\text{disponible?}}(2\text{ puntos})$

Se sustituye la solución óptima $(15,10)$ en las expresiones de los empleos y de la inversión.

Empleos creados:

$3x+6y=3\cdot 15+6\cdot 10=45+60=105$

Inversión necesaria:

$100000\cdot 15+150000\cdot 10=1500000+1500000=3000000$

La solución óptima genera $105$ empleos, muy por encima del mínimo de 60 comprometido, y consume exactamente los tres millones de euros disponibles: sí se gasta todo el dinero.