Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · Aragón · 2026

En la librería se ha estudiado el beneficio semanal (en cientos de euros) en función del tiempo ($x$) (en días) transcurrido desde el inicio de una campaña promocional, y se ha modelizado por la función:

$B(x)=3x^2+ax+1$

Se sabe que el beneficio total acumulado durante los dos primeros días de la campaña ha sido de 3000 euros, lo que se expresa mediante la condición:

${\displaystyle {\int }_0^{2}B(x)\mathrm{d}x=30}$

Determine el valor del parámetro $a$. [5 puntos]

La condición del enunciado es una integral definida, así que se calcula primero una primitiva de $B(x)$ integrando término a término.

$\int (3x^2+ax+1)dx=3\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+a\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x=x^3+{\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2+x$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_0^{2}B(x)dx={[x^3+{\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2+x]}_0^2$

$=(2^3+{\displaystyle \frac{a}{2}}\cdot 2^2+2)-(0^3+{\displaystyle \frac{a}{2}}\cdot 0^2+0)=8+2a+2$

${\int }_0^{2}B(x)dx=2a+10$

Se impone ahora la condición del enunciado y se despeja el parámetro:

$2a+10=30\Rightarrow 2a=20\Rightarrow a=10$

Se comprueba el resultado con $B(x)=3x^2+10x+1$:

${\int }_0^2(3x^2+10x+1)dx={[x^3+5x^2+x]}_0^2=8+20+2=30$

El valor del parámetro es $a=10$, que en efecto corresponde a un beneficio acumulado de 30 cientos de euros, es decir, de 3.000 €, durante los dos primeros días de la campaña.