Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2026

Apartado 2. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2.B. El valor de los activos de una empresa, en millones de euros, a los $x$ años de su creación, viene dado por la función $f(x)=Ax+{\displaystyle \frac{B}{x+1}}$ para $x\in [0,5]$. Se sabe que, en el tiempo inicial, los activos tenían un valor de cuatro millones de euros y al cabo de un año valían un millón de euros menos. Determina:

a) Los coeficientes $A$ y $B$ de la función. (0,25 puntos)
b) El intervalo en el que el valor de los activos es mayor de 4 millones. (0,5 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (1,5 puntos)
d) El momento en que el valor fue máximo y mínimo, y el valor de estos. (0,5 puntos)
e) El área entre la función $g(x)=(x+1)f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x=2$ y $x=3$. (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{coeficientes}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La función es:

$f(x)=Ax+{\displaystyle \frac{B}{x+1}}$

En el tiempo inicial los activos valían cuatro millones de euros:

$f(0)=A\cdot 0+{\displaystyle \frac{B}{0+1}}=B=4$

Al cabo de un año valían un millón menos, es decir, tres millones:

$f(1)=A+{\displaystyle \frac{4}{2}}=A+2=3\Rightarrow A=1$

Por tanto:

$A=1,B=4\Rightarrow f(x)=x+{\displaystyle \frac{4}{x+1}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{activos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{millones.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Planteamos la inecuación $f(x)>4$. Como $x\in [0,5]$, el denominador $x+1$ es positivo y podemos multiplicar por él:

$x+{\displaystyle \frac{4}{x+1}}>4\Rightarrow x(x+1)+4>4(x+1)$

$x^2+x+4>4x+4\Rightarrow x^2-3x>0\Rightarrow x(x-3)>0$

El producto es positivo cuando los dos factores tienen el mismo signo. Dentro del intervalo $[0,5]$ eso ocurre solo si $x>3$.

El valor de los activos supera los 4 millones de euros en el intervalo $]3,5]$, es decir, a partir del tercer año.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos la función:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{4}{(x+1{)}^2}}$

Igualamos a cero para localizar los puntos donde puede cambiar la monotonía:

$1-{\displaystyle \frac{4}{(x+1{)}^2}}=0\Rightarrow (x+1{)}^2=4\Rightarrow x+1=\pm 2$

$x=1\text{o}x=-3$

Se descarta $x=-3$ por no pertenecer al dominio $[0,5]$.

Hacemos un estudio de signos de $f^{\mathrm{\prime }}$ a un lado y a otro de $x=1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1-{\displaystyle \frac{4}{1}}=-3<0,f^{\mathrm{\prime }}(2)=1-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}>0$

Por tanto, el valor de los activos decrece en $[0,1[$ y crece en $]1,5]$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Como la función pasa de decrecer a crecer en $x=1$, ahí hay un mínimo:

$f(1)=1+{\displaystyle \frac{4}{2}}=3$

Al ser el único extremo del intervalo, el máximo absoluto está en uno de los dos bordes:

$f(0)=0+{\displaystyle \frac{4}{1}}=4,f(5)=5+{\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{17}{3}}\approx \mathrm{5,67}$

El valor de los activos fue mínimo al año de la creación de la empresa, con 3 millones de euros, y máximo a los 5 años, con ${\displaystyle \frac{17}{3}}\approx \mathrm{5,67}$ millones de euros.



Calculamos primero la función $g$, que se simplifica al multiplicar:

$g(x)=(x+1)(x+{\displaystyle \frac{4}{x+1}})=x(x+1)+4=x^2+x+4$

En el intervalo $[2,3]$ la función es positiva, así que el área coincide con la integral definida:

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_2^3(x^2+x+4)dx$

Aplicamos la regla de Barrow:

${\int }_2^3(x^2+x+4)dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+4x]}_2^3$

$=(9+{\displaystyle \frac{9}{2}}+12)-({\displaystyle \frac{8}{3}}+2+8)={\displaystyle \frac{51}{2}}-{\displaystyle \frac{38}{3}}={\displaystyle \frac{77}{6}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{77}{6}}\approx \mathrm{12,83}$ unidades cuadradas.