Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2020

B.3. ( 2 puntos) Se considera la función real de variable real dada por la siguiente expresión:

$f(x)=3(x+k)e^{-x\mathrm{/}2}$

a) Indique el dominio de la función y obtenga razonadamente el valor del parámetro real $k$ para que la tangente a la función en el punto de abscisa $x=1$ sea horizontal. Determine también la ecuación de la recta tangente a la función en dicho punto.
b) Para $k=1$, señale los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

La función es el producto de un polinomio por una exponencial, definidas ambas en todo $\mathbb{R}$, luego $\text{Dom}f=\mathbb{R}$.

Que la tangente sea horizontal en $x=1$ significa que su pendiente es nula, es decir, $f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$. Derivamos como un producto y sacamos factor común la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3e^{-x\mathrm{/}2}+3(x+k)(-{\displaystyle \frac{1}{2}})e^{-x\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^{-x\mathrm{/}2}(2-x-k)$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^{-1\mathrm{/}2}(2-1-k)=0$

Como $e^{-1\mathrm{/}2}\mathrm{\ne }0$, el único factor que puede anularse es el paréntesis.

$1-k=0\Rightarrow k=1$

Con $k=1$, la ordenada del punto de tangencia es:

$f(1)=3(1+1)e^{-1\mathrm{/}2}=6e^{-1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{e}}}\approx \mathrm{3,64}$

La recta tangente es horizontal, de la forma $y=f(1)$.

$y=6e^{-1\mathrm{/}2}\approx \mathrm{3,64}$



El signo de la derivada primera decide la monotonía. Con $k=1$ la derivada obtenida en el apartado anterior queda:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^{-x\mathrm{/}2}(1-x)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1-x=0\Rightarrow x=1$

La exponencial es siempre positiva, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es el del factor $1-x$. Se hace un estudio de signos en torno al único punto crítico.

$\begin{array}{ccc}& (-\mathrm{\infty },1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{3}{2}(1-0)>0\\ \text{Si }x=2,f^{\mathrm{\prime }}(2)=\frac{3}{2}{e}^{-1}(1-2)<0\end{array}$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },1)$ y decrece en $(1,+\mathrm{\infty })$, y presenta por tanto un máximo relativo en $x=1$.