Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2025

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{B.}}$

Se considera la función:

$f(x)={\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}$

Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen. $(2\text{ puntos})$
d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Dominio:

$x^2-2x-8=0$

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ x=4\end{array}\Rightarrow \mathrm{Dom}(f(x))=\mathbb{R}\setminus \{-2,4\}$

Puntos de corte con los ejes:

Con el eje $X$: $f(x)=0$

${\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}=0\Rightarrow 4x^2-36=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-3\Rightarrow P\mathrm{.}C\mathrm{.}(-3,0)\\ x=3\Rightarrow P\mathrm{.}C\mathrm{.}(3,0)\end{array}$

Con el eje $Y$: $x=0$

$f(0)={\displaystyle \frac{4\cdot 0^2-36}{0^2-2\cdot 0-8}}={\displaystyle \frac{-36}{-8}}={\displaystyle \frac{9}{2}}\Rightarrow P\mathrm{.}C\mathrm{.}(0,{\displaystyle \frac{9}{2}})$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Asíntotas:

Verticales:

${\lim }_{x\to -2}{\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}=\left[{\displaystyle \frac{-20}{0}}\right]\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to -2^{-}}{\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}=\left[{\displaystyle \frac{-20}{0^{+}}}\right]=-\mathrm{\infty }\\ {\lim }_{x\to -2^{+}}{\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}=\left[{\displaystyle \frac{-20}{0^{-}}}\right]=+\mathrm{\infty }\end{array}$

$x=-2$ es asíntota vertical.

${\lim }_{x\to 4}{\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}=\left[{\displaystyle \frac{28}{0}}\right]\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to 4^{-}}{\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}=\left[{\displaystyle \frac{28}{0^{-}}}\right]=-\mathrm{\infty }\\ {\lim }_{x\to 4^{+}}{\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}=\left[{\displaystyle \frac{28}{0^{+}}}\right]=+\mathrm{\infty }\end{array}$

$x=4$ es asíntota vertical.

Horizontales:

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}=\left[{\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}\right]={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{4x^2}{x^2}}=4$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{4x^2-36}{x^2-2x-8}}=4$

$y=4$ es asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}(2\text{ puntos})$

Monotonía y extremos:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{8x\cdot (x^2-2x-8)-(4x^2-36)\cdot (2x-2)}{(x^2-2x-8{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{8x^3-16x^2-64x-(8x^3-8x^2-72x+72)}{(x^2-2x-8{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-8x^2+8x-72}{(x^2-2x-8{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -8x^2+8x-72=0\Rightarrow \mathrm{\nexists }x\in \mathbb{R}$

Como el denominador está elevado al cuadrado, siempre es positivo, y el numerador es siempre negativo. Por tanto:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$

$\{\begin{array}{ll}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)<0,& \text{si }x\in (-\mathrm{\infty },-2)\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)<0,& \text{si }x\in (-2,4)\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)<0,& \text{si }x\in (4,+\mathrm{\infty })\end{array}$










$f(x)$ decrece en todo su dominio y no tiene extremos relativos.

Decrece:

$(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,4)\cup (4,+\mathrm{\infty })$





$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{apartados}}\mathbf{\text{anteriores.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$