Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2026

Apartado 2. Responde un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. A. El valor de mercado de una empresa (en millones de euros) depende del tiempo $t$ (en años) y viene dado por la función:

$g(t)=\{\begin{array}{l}{t}^2+2,0\le t\le 1,\\ \frac{a}{t}+2,1<t\le 2,\\ ct+\frac{b}{t^2},2<t\le 4.\end{array}$

a) Teniendo en cuenta que la función debe ser continua y que $g^{\mathrm{\prime }}(3)=23\mathrm{/}27$, determina $a$, $b$ y $c$. (1 punto)
b) La empresa ha tenido tres gerentes, el primero cuando $t\in [0,1]$, el segundo cuando $t\in (1,2]$ y el tercero cuando $t\in (2,4]$. Determina si con todos los gerentes el valor de mercado ha ido creciendo. (1 punto)
c) Determina los máximos y mínimos absolutos y relativos para el valor de mercado. (0,5 puntos)
d) El salario de un gerente al año es cien mil veces la integral de la función $g$ durante el período que ha estado. Calcula el salario del primer gerente. (1 punto)

Para que una función definida a trozos sea continua, los valores laterales deben coincidir en los puntos donde cambia la expresión:

$g(t_0^{-})=g(t_0^{+})$

Primero imponemos continuidad en $t=1$:

$g(1^{-})=g(1^{+})$

$1^2+2=\frac{a}{1}+2\Rightarrow 3=a+2\Rightarrow a=1$

Ahora imponemos continuidad en $t=2$:

$g(2^{-})=g(2^{+})$

Como ya sabemos que $a=1$:

$\frac{1}{2}+2=2c+\frac{b}{2^2}\Rightarrow \frac{5}{2}=2c+\frac{b}{4}$

Usamos ahora la condición de la derivada.

La fórmula para derivar una potencia es:

$\frac{d}{dt}\left(t^n\right)=n{t}^{n-1}$

En el tercer tramo:

$g(t)=ct+\frac{b}{t^2}=ct+b{t}^{-2}$

Derivando:

$g^{\mathrm{\prime }}(t)=c-2b{t}^{-3}=c-\frac{2b}{t^3}$

Como $g^{\mathrm{\prime }}(3)=\frac{23}{27}$:

$c-\frac{2b}{3^3}=\frac{23}{27}\Rightarrow c-\frac{2b}{27}=\frac{23}{27}$

Por tanto, tenemos el sistema:

$\{\begin{array}{l}2c+\frac{b}{4}=\frac{5}{2}\\ c-\frac{2b}{27}=\frac{23}{27}\end{array}$

De la segunda ecuación despejamos $c$:

$c=\frac{23}{27}+\frac{2b}{27}$

Sustituimos en la primera:

$2(\frac{23}{27}+\frac{2b}{27})+\frac{b}{4}=\frac{5}{2}$

$\frac{46}{27}+\frac{4b}{27}+\frac{b}{4}=\frac{5}{2}$

Restamos $\frac{46}{27}$ en ambos lados:

$\frac{4b}{27}+\frac{b}{4}=\frac{5}{2}-\frac{46}{27}=\frac{43}{54}$

Sumamos las fracciones del lado izquierdo usando denominador común $108$:

$\frac{16b}{108}+\frac{27b}{108}=\frac{43}{54}\Rightarrow \frac{43b}{108}=\frac{43}{54}$

Despejamos:

$b=\frac{43}{54}\cdot \frac{108}{43}=2$

Sustituyendo en $c=\frac{23}{27}+\frac{2b}{27}$:

$c=\frac{23}{27}+\frac{2\cdot 2}{27}=\frac{27}{27}=1$

Por tanto:

$a=1,b=2,c=1$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{gerentes}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{mercado}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{ido}}\mathbf{\text{creciendo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Para estudiar si una función crece o decrece usamos el signo de la derivada:

$\{\begin{array}{l}{g}^{\mathrm{\prime }}(t)>0\Rightarrow g(t)\text{ crece}\\ g^{\mathrm{\prime }}(t)<0\Rightarrow g(t)\text{ decrece}\end{array}$

Con los valores obtenidos:

$g(t)=\{\begin{array}{ll}{t}^2+2,& 0\le t\le 1\\ \frac{1}{t}+2,& 1<t\le 2\\ t+\frac{2}{t^2},& 2<t\le 4\end{array}$

Primer gerente, $t\in [0,1]$:

$g^{\mathrm{\prime }}(t)=2t$

Como $2t\ge 0$ en $[0,1]$, el valor de mercado crece durante el primer gerente.

Segundo gerente, $t\in (1,2]$:

$g^{\mathrm{\prime }}(t)=-\frac{1}{t^2}$

Como $-\frac{1}{t^2}<0$ para todo $t\in (1,2]$, el valor de mercado decrece durante el segundo gerente.

Tercer gerente, $t\in (2,4]$:

$g^{\mathrm{\prime }}(t)=1-\frac{4}{t^3}$

Como $t>2$, entonces $t^3>8$, y por tanto:

$\frac{4}{t^3}<\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Luego:

$g^{\mathrm{\prime }}(t)=1-\frac{4}{t^3}>0$

El valor de mercado crece durante el tercer gerente.

Por tanto, no ha crecido con todos los gerentes: crece con el primero y con el tercero, pero decrece con el segundo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{absolutos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{mercado.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Para buscar extremos absolutos en un intervalo cerrado, comprobamos los puntos donde cambia el crecimiento y los extremos del intervalo.

Por el apartado anterior:

$g(t)$ crece en $[0,1]$, decrece en $(1,2]$ y crece en $(2,4]$.

Calculamos los valores importantes:

$g(0)=0^2+2=2$

$g(1)=1^2+2=3$

$g(2)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$

$g(4)=4+\frac{2}{4^2}=4+\frac{1}{8}=\frac{33}{8}$

Como pasa de crecer a decrecer en $t=1$, hay un máximo relativo:

$t=1,g(1)=3$

Como pasa de decrecer a crecer en $t=2$, hay un mínimo relativo:

$t=2,g(2)=\frac{5}{2}$

Comparando los valores:

$2<\frac{5}{2}<3<\frac{33}{8}$

El mínimo absoluto se alcanza en:

$t=0,g(0)=2$

El máximo absoluto se alcanza en:

$t=4,g(4)=\frac{33}{8}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{gerente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El salario es cien mil veces la integral de $g(t)$ durante el periodo trabajado:

$S=100000{\int }_a^{b}g(t)dt$

El primer gerente trabaja durante el intervalo $[0,1]$, donde:

$g(t)=t^2+2$

Por tanto:

$S=100000{\int }_0^1(t^2+2)dt$

Usamos la regla de integración de potencias:

$\int t^{n}dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}$

Entonces:

${\int }_0^1(t^2+2)dt={[\frac{t^3}{3}+2t]}_0^1=(\frac{1}{3}+2)-0=\frac{7}{3}$

Por tanto:

$S=100000\cdot \frac{7}{3}=\frac{700000}{3}\text{ euros}$

$S\approx \mathrm{233333,33}\text{ euros}$