Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 4 - Cuestión B. (2,5 puntos)

[2,5 puntos] El peso, en kg, de los jugadores de fútbol de la Liga Nacional juvenil de la Región de Murcia sigue una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica igual a $12\text{ kg}$.

a) Si en una muestra de 64 jugadores el peso medio ha sido de $70\text{ kg}$, calcula un intervalo de confianza con un $95\mathrm{\%}$ de confianza para la media de los pesos de los jugadores de fútbol de la Liga Nacional juvenil de la Región de Murcia. [1 punto]
b) Determina el tamaño mínimo que debe tener una muestra de jugadores para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor que $4\text{ kg}$ con un nivel de confianza del $98\mathrm{\%}$. [0,75 puntos]
c) Si $\mu =71$ y se elige a un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pese más de $75\text{ kg}$? [0,75 puntos]

El peso sigue una distribución normal $X\sim N(\mu ;12)$ con desviación típica conocida, de modo que la media muestral se distribuye según $\bar{X}\sim N\text{\hspace{0.17em}⁣}(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$.



El intervalo de confianza para la media con $\sigma$ conocida es

$IC(\mu )=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Para un nivel de confianza del $95\mathrm{\%}$ se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,025}$ y, en la tabla de la normal estándar, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{12}{\sqrt{64}}}=\mathrm{1,5};E=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{1,5}=\mathrm{2,94}$

$IC(\mu )=(70-\mathrm{2,94},70+\mathrm{2,94})=(\mathrm{67,06};\mathrm{72,94})$

Con un $95\mathrm{\%}$ de confianza, el peso medio de los jugadores está entre $\mathrm{67,06}$ y $\mathrm{72,94}$ kg.





Se impone que el error máximo sea menor que $4$ y se despeja el tamaño muestral. Para el $98\mathrm{\%}$ es $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,01}$ y $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,33}$.

$z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}<4\Rightarrow \mathrm{2,33}\cdot {\displaystyle \frac{12}{\sqrt{n}}}<4$

$\sqrt{n}>{\displaystyle \frac{\mathrm{2,33}\cdot 12}{4}}=\mathrm{6,99}$

$n>\mathrm{48,86}$

Como el tamaño muestral ha de ser entero, se toma el siguiente: hacen falta al menos $49$ jugadores.



Aquí se trabaja con la variable individual $X\sim N(71;12)$, que se tipifica restando la media y dividiendo entre la desviación típica.

$P(X>75)=P\text{\hspace{0.17em}⁣}(Z>{\displaystyle \frac{75-71}{12}})=P(Z>\mathrm{0,33})$

Se pasa al suceso contrario para poder usar la tabla.

$P(Z>\mathrm{0,33})=1-P(Z\le \mathrm{0,33})=1-\mathrm{0,6293}=\mathrm{0,3707}$

La probabilidad de que un jugador elegido al azar pese más de $75$ kg es $\mathrm{0,3707}$.