Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2023

Una tienda vende un tipo determinado de botella de agua a 70 céntimos. Esta semana hace una oferta de 4 × 3, es decir, que si compramos cuatro botellas de agua solo pagamos tres. La tienda también ha anunciado que la próxima semana la oferta de 4 × 3 ya no estará vigente, pero, en cambio, aplicará un 20 % de descuento sobre el total de la compra que hagan los clientes.

a) Calcule el precio que tendremos que pagar por 4 botellas de agua tanto esta semana como la próxima. En lugar de un 20 %, ¿qué descuento habría que aplicar para igualar la oferta de 4 × 3? [1,5 puntos]

b) Calcule, en general, qué descuento habría que aplicar para igualar una oferta de $m\times (m-1)$; es decir, que consiste en vender $m$ botellas de agua por el precio de $m-1$ botellas, donde $m$ es un entero mayor que 1. [1 punto]

Con la oferta de 4 × 3 se pagan tres botellas de las cuatro que uno se lleva.

$P_{4\times 3}=3\cdot \mathrm{0,70}=\mathrm{2,10}\text{ €}$

La próxima semana se pagan las cuatro botellas, pero con un 20 % de descuento, de manera que se abona el 80 % del importe.

$P_{20\mathrm{\%}}=4\cdot \mathrm{0,70}\cdot (1-\mathrm{0,20})=\mathrm{2,80}\cdot \mathrm{0,80}=\mathrm{2,24}\text{ €}$

Para saber qué descuento iguala las dos ofertas llamamos $d$ al descuento expresado en tanto por uno e imponemos que los dos precios coincidan.

$\mathrm{2,80}(1-d)=\mathrm{2,10}$

$1-d={\displaystyle \frac{\mathrm{2,10}}{\mathrm{2,80}}}=\mathrm{0,75}\Rightarrow d=\mathrm{0,25}$

Con la oferta de 4 × 3 se pagan $\mathrm{2,10}$ € y con el 20 % de descuento se pagan $\mathrm{2,24}$ €, de modo que la oferta de 4 × 3 sale más barata. Para igualarlas habría que aplicar un descuento del $25$ %.



Repetimos el razonamiento del apartado anterior dejando indicados el precio unitario, que llamamos $p$, y el número de botellas.

Con la oferta se pagan $m-1$ botellas:

$P_{\text{oferta}}=(m-1)p$

Con el descuento $d$ se pagan las $m$ botellas rebajadas:

$P_{\text{descuento}}=mp(1-d)$

Igualamos los dos precios y despejamos el descuento. El precio unitario se simplifica, de modo que el resultado no depende de lo que valga la botella.

$mp(1-d)=(m-1)p$

$1-d={\displaystyle \frac{m-1}{m}}\Rightarrow d=1-{\displaystyle \frac{m-1}{m}}={\displaystyle \frac{1}{m}}$

Comprobamos el resultado con el caso del apartado anterior, en el que $m=4$:

$d={\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}=25\mathrm{\%}$

Para igualar una oferta de $m\times (m-1)$ hay que aplicar un descuento de ${\displaystyle \frac{1}{m}}$, es decir, del ${\displaystyle \frac{100}{m}}$ %.