Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2020

Cuestión 9. (2 puntos) El precio medio de los aspiradores de una gran superficie se distribuye según una distribución normal de desviación típica $100\text{€}$. Se toma una muestra aleatoria de 9 aspiradores de distintas marcas obteniendo un precio medio de $\mathrm{178,89}\text{€}$. Determine un intervalo de confianza al 95\% para el precio medio.
Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que, con un nivel de confianza del 99\%, el error cometido al estimar el precio no supere los $50\text{€}$.

El intervalo de confianza para la media de una población normal con $\sigma$ conocida es

$IC(\mu )=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Para el $95\mathrm{\%}$ se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,025}$ y, en la tabla de la normal estándar, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$E=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{100}{\sqrt{9}}}=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{100}{3}}\approx \mathrm{65,33}$

$IC(\mu )=(\mathrm{178,89}-\mathrm{65,33},\mathrm{178,89}+\mathrm{65,33})=(\mathrm{113,56};\mathrm{244,22})$

Con un $95\mathrm{\%}$ de confianza, el precio medio de los aspiradores está entre $\mathrm{113,56}$ y $\mathrm{244,22}$ euros.





Se impone la condición sobre el error máximo y se despeja el tamaño muestral. Para el $99\mathrm{\%}$ es $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,005}$ y $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,575}$.

$\mathrm{2,575}\cdot {\displaystyle \frac{100}{\sqrt{n}}}\le 50\Rightarrow \sqrt{n}\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{257,5}}{50}}=\mathrm{5,15}$

$n\ge {\mathrm{5,15}}^2=\mathrm{26,52}$

Como el tamaño muestral ha de ser entero, hacen falta al menos $27$ aspiradores.