Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2020

Cuestión 10. (2 puntos) Se sabe que el peso de los tarros de cacao de un supermercado es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con desviación típica de $\mathrm{1,8}$ gramos. Se toma una muestra aleatoria de 9 tarros y se obtiene un peso medio de 89 gramos. Obtenga un intervalo de confianza, al 95\%, para la media de esta población.
¿Cuál será el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar el peso no supere 1 gramo, a un nivel de confianza del 95\%?

El intervalo de confianza para la media de una población normal con $\sigma$ conocida es

$IC(\mu )=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Para el $95\mathrm{\%}$ se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,025}$ y, en la tabla de la normal estándar, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$E=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,8}}{\sqrt{9}}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{1,176}$

$IC(\mu )=(89-\mathrm{1,176},89+\mathrm{1,176})=(\mathrm{87,824};\mathrm{90,176})$

Con un $95\mathrm{\%}$ de confianza, el peso medio de los tarros de cacao está entre $\mathrm{87,824}$ y $\mathrm{90,176}$ gramos.





Se impone la condición sobre el error máximo, con el mismo valor crítico, y se despeja el tamaño muestral.

$\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,8}}{\sqrt{n}}}\le 1\Rightarrow \sqrt{n}\ge \mathrm{1,96}\cdot \mathrm{1,8}=\mathrm{3,528}$

$n\ge {\mathrm{3,528}}^2=\mathrm{12,45}$

Como el tamaño muestral ha de ser entero, hacen falta al menos $13$ tarros.