Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2020

Cuestión 10. En un laboratorio farmacéutico se analiza el PH de una solución y se supone que este sigue una distribución normal con una desviación típica de $\mathrm{0,02}$. Con un ensayo de $6$ mediciones de la misma solución se obtuvo un PH medio de $\mathrm{7,91}$:
a) Determinar un intervalo de confianza a $95\mathrm{\%}$ para la media de todas las determinaciones de PH de la misma solución obtenida por el mismo método. (1,25 puntos)
b) Con el mismo nivel de confianza anterior, ¿cuál sería el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido sea inferior a $\mathrm{0,01}$? (0,75 puntos)

El intervalo de confianza para la media de una población normal con $\sigma$ conocida es

$IC(\mu )=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Para el $95\mathrm{\%}$ se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,025}$ y, en la tabla de la normal estándar, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$E=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}}{\sqrt{6}}}\approx \mathrm{0,016}$

$IC(\mu )=(\mathrm{7,91}-\mathrm{0,016},\mathrm{7,91}+\mathrm{0,016})=(\mathrm{7,894};\mathrm{7,926})$

Con un $95\mathrm{\%}$ de confianza, el pH medio de la solución está entre $\mathrm{7,894}$ y $\mathrm{7,926}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">0,01</mn>}\mathbf{\text{?}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Se impone la condición sobre el error máximo y se despeja el tamaño muestral.

$\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}}{\sqrt{n}}}<\mathrm{0,01}\Rightarrow \sqrt{n}>{\displaystyle \frac{\mathrm{0,0392}}{\mathrm{0,01}}}=\mathrm{3,92}$

$n>{\mathrm{3,92}}^2=\mathrm{15,3664}$

Como el tamaño muestral ha de ser entero, hacen falta al menos $16$ mediciones; con $15$ el error sería $\mathrm{0,0101}$, todavía por encima del tope.