Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2023

A.2. (2 puntos)

Considere la función real de variable real $f(x)=x^3+2x^2$

a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$.
b) Determine los extremos relativos de la función $f(x)$ indicando si son máximos o mínimos.

La recta tangente en $x=1$ es $y-f(1)=f^{\mathrm{\prime }}(1)(x-1)$, así que necesitamos el valor de la función y el de su derivada.

$f(1)=1+2=3$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+4x$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=3+4=7$

$y-3=7(x-1)\Rightarrow y=7x-4$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=1$ es $y=7x-4$.



Los candidatos a extremo son los puntos que anulan la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2+4x=0\Rightarrow x(3x+4)=0$

$x=-{\displaystyle \frac{4}{3}},x=0$

Se hace un estudio de signos de la derivada, que es una parábola con las ramas hacia arriba.

$\begin{array}{cccc}& (-\mathrm{\infty },-\frac{4}{3})& (-\frac{4}{3},0)& (0,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -& +\end{array}$



En $x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ la derivada pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo relativo, y en $x=0$ pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo.

$f(-{\displaystyle \frac{4}{3}})=-{\displaystyle \frac{64}{27}}+{\displaystyle \frac{32}{9}}={\displaystyle \frac{32}{27}}$

$f(0)=0$

La función tiene un máximo relativo en $(-{\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{32}{27}})$ y un mínimo relativo en $(0,0)$.