Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2025

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{A.}}$

Se considera la función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1+x^2}{1+x}}& \text{si }0\le x<4\\ 2x+4& \text{si }4\le x<8\\ 3x+60-x^2& \text{si }8\le x\le 9\end{array}$

Se pide:

a) Estudiar la continuidad de la función en el intervalo $[0,9]$. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$
b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo $[0,9]$. $(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$
c) Calcular los puntos donde la función alcanza el máximo y el mínimo, y cuánto vale la función en esos puntos. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$
d) Calcular el área de la región delimitada por esta función, el eje $OX$, la recta de ecuación $x=8$ y la recta de ecuación $x=9$. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">9</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$





$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1+x^2}{1+x}},& \text{si }0\le x<4\\ 2x+4,& \text{si }4\le x<8\\ 3x+60-x^2,& \text{si }8\le x\le 9\end{array}$










Si $0\le x<4$,

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1+x^2}{1+x}},& \text{si }0\le x<4\\ 2x+4,& \text{si }4\le x<8\\ 3x+60-x^2,& \text{si }8\le x\le 9\end{array}\Rightarrow \mathrm{Dom}(f(x))=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$

No afecta al estar definida en $0\le x<4$.

Si $4\le x<8$,

$f(x)=2x+4\Rightarrow \mathrm{Dom}(f(x))=\mathbb{R}$

Si $8\le x\le 9$,

$f(x)=3x+60-x^2\Rightarrow \mathrm{Dom}(f(x))=\mathbb{R}$

Como ves, en el intervalo $[0,9]$, las únicas posibles discontinuidades están en los puntos de encuentro. Así:

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">9</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

Continuidad en $x=4$

$f(4)=2\cdot 4+4=12$

${\lim }_{x\to 4}f(x)\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to 4^{-}}{\displaystyle \frac{1+x^2}{1+x}}={\displaystyle \frac{17}{5}}\\ {\lim }_{x\to 4^{+}}(2x+4)=12\end{array}\Rightarrow \mathrm{\nexists }{\lim }_{x\to 4}f(x)$

$f(x)$ presenta en $x=4$ una discontinuidad de salto finito.

Continuidad en $x=8$

$f(8)=3\cdot 8+60-8^2=20$

${\lim }_{x\to 8}f(x)\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to 8^{-}}(2x+4)=20\\ {\lim }_{x\to 8^{+}}(3x+60-x^2)=20\end{array}\Rightarrow {\lim }_{x\to 8}f(x)=20$

Como $f(8)={\lim }_{x\to 8}f(x)$, $f(x)$ es continua en $x=8$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{puntos.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Si $0\le x<4$,

$f(x)={\displaystyle \frac{1+x^2}{1+x}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(1+x)-(1+x^2)}{(1+x{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x+2x^2-1-x^2}{(1+x{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2+2x-1}{(1+x{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{x^2+2x-1}{(1+x{)}^2}}=0\Rightarrow x^2+2x-1=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1+\sqrt{2}\\ x=-1-\sqrt{2}\end{array}$

Debe ser $0\le x<4$, por tanto $x=-1+\sqrt{2}$.

Si $4\le x<8$,

$f(x)=2x+4$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\mathrm{\forall }x$

Si $8\le x\le 9$,

$f(x)=3x+60-x^2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3-2x$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3-2x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Debe ser $8\le x\le 9$, por tanto no pertenece al intervalo.










Decrece en $[0,-1+\sqrt{2})\cup (8,9]$.

Crece en $(-1+\sqrt{2},8)$.





Ojo: en $x=4$, $f(x)$ es creciente pese a ser discontinua.

El máximo y el mínimo de $f(x)$ en $[0,9]$:

$\{\begin{array}{l}f(0)={\displaystyle \frac{1+0}{1+0}}=1\\ f(-1+\sqrt{2})={\displaystyle \frac{1+(-1+\sqrt{2}{)}^2}{1-1+\sqrt{2}}}\simeq \mathrm{0,83}\\ f(4)=2\cdot 4+4=12\\ f(8)=3\cdot 8+60-8^2=20\\ f(9)=3\cdot 9+60-9^2=6\end{array}$

El máximo es $20$ y se alcanza en el punto de abscisa $x=8$, y el mínimo es $\mathrm{0,83}$ y se alcanza en el punto $x=-1+\sqrt{2}\simeq \mathrm{0,41}$.





Calculamos los puntos de corte:

$f(x)=0\Rightarrow -x^2+3x+60=0$

$x={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4(-1)(60)}}{2(-1)}}={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{249}}{-2}}$

No sirven, pues deberían estar en $8<x<9$.

Por tanto, el área pedida es:

$A={\int }_8^9(-x^2+3x+60)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+60x]}_8^9$

$A=(-{\displaystyle \frac{9^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3\cdot 9^2}{2}}+60\cdot 9)-(-{\displaystyle \frac{8^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3\cdot 8^2}{2}}+60\cdot 8)={\displaystyle \frac{79}{6}}{\text{u}}^2$