Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2021

B 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se sabe que la derivada de una función real $f(x)$ de variable real es:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+8x$

a) Determine la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(1)=11$.
b) Determine los máximos y mínimos locales de $f(x)$, si los hubiera.

La función es una primitiva de la derivada que da el enunciado, así que integramos término a término.

$f(x)=\int (3x^2+8x)dx=x^3+4x^2+C$

La condición del enunciado fija la constante de integración.

$f(1)=1+4+C=11\Rightarrow C=6$

$f(x)=x^3+4x^2+6$



Los candidatos a extremo son los puntos que anulan la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2+8x=0\Rightarrow x(3x+8)=0$

$x=-{\displaystyle \frac{8}{3}},x=0$

Se hace un estudio de signos: la derivada es una parábola con las ramas hacia arriba, negativa entre sus raíces.

$\begin{array}{cccc}& (-\mathrm{\infty },-\frac{8}{3})& (-\frac{8}{3},0)& (0,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -& +\end{array}$



En $x=-{\displaystyle \frac{8}{3}}$ la función pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo local, y en $x=0$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo local.

$f(-{\displaystyle \frac{8}{3}})=-{\displaystyle \frac{512}{27}}+{\displaystyle \frac{256}{9}}+6={\displaystyle \frac{418}{27}}\approx \mathrm{15,48}$

$f(0)=6$

Hay un máximo local en $(-{\displaystyle \frac{8}{3}},{\displaystyle \frac{418}{27}})$ y un mínimo local en $(0,6)$.