Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2020

Problema 2.

Dada la función $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$, se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El dominio son todos los números reales salvo los que anulan el denominador.

$\text{Dominio}=\mathbb{R}$-{1} .

Cortes con los ejes
Si $x=0$ entonces $f(0)={\displaystyle \frac{0^2}{0-1}}=0\Rightarrow P(0,0)$ es punto de corte con los ejes.
Si $y=0$ entonces ${\displaystyle \frac{x^2}{x-1}}=0\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow P(0,0)$ de nuevo.

El único punto de corte con los ejes de coordenadas es $P(0,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Asíntota vertical $x=a$.

${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}\frac{x^2}{x-1}=\mathrm{\infty }$

La asíntota vertical es $x=1$.

Asíntota horizontal $y=b$.

$b={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{x^2}{x-1}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}x=\mathrm{\infty }$

No existe asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Determinamos la derivada de la función. $f(x)=\frac{x^2}{x-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$

Igualamos a cero la derivada. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0$ $\Rightarrow x=0\text{o}x=2$

Veamos cómo evoluciona la función antes, entre y después de los puntos críticos.

En $(-\mathrm{\infty },0)$ tomamos $x=-1$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=\frac{(-1{)}^2-2(-1)}{(-1-1{)}^2}=\frac{3}{4}>0$. La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)$.

En $(0,1)$ tomamos $x=\mathrm{0,5}$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,5})=\frac{\mathrm{0,25}-1}{(\mathrm{0,5}-1{)}^2}=-\frac{\mathrm{0,75}}{\mathrm{0,25}}<0$. La función decrece en $(0,1)$.

En $(1,2)$ tomamos $x=\mathrm{1,5}$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{1,5})=\frac{{\mathrm{1,5}}^2-3}{(\mathrm{1,5}-1{)}^2}=\frac{-\mathrm{0,75}}{\mathrm{0,25}}<0$. La función decrece en $(1,2)$.

En $(2,+\mathrm{\infty })$ tomamos $x=4$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(4)=\frac{4^2-8}{(4-1{)}^2}=\frac{8}{9}>0$. La función crece en $(2,+\mathrm{\infty })$.

La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (2,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(0,1)\cup (1,2)$. Siguiendo el siguiente esquema:









$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Atendiendo al esquema anterior se observa que hay un máximo local en $x=0$ y un mínimo local en $x=2$.

$x=0\Rightarrow f(0)=\frac{0^2}{0-1}=0$ Máximo local en el punto $A(0,0)$.

$x=2\Rightarrow f(2)=\frac{2^2}{2-1}=4$ Mínimo local en el punto $B(2,4)$.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{apartados}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Realizamos una tabla y, con los datos obtenidos previamente, dibujamos la gráfica de la función.

Tabla de valores:

$x$	$y={\displaystyle \frac{x^2}{x-1}}$
-2	-1,33
-1	-0,5
0	0
0,5	-0,5
1,5	4,5
2	4
3	4,5